度量空间(Euclidean、Supremum,l1)(一)
发布网友
共1个回答
热心网友
(欧几里得距离Euclidean Distance)我们定义两点之间的欧几里得距离(或度量) [公式] 从概念上讲，这是连接x和y的最短线段的大小。我们通常在[公式] 中研究这个问题。然后，度量被定义为|x-y|(因为只有一个坐标，并且 [公式] )。绝对值函数最重要的特征是什么? [公式] 定义3(度量空间) 度量空间是一个集X，它有一个度量d:[公式] ，使得 [公式] ，我们得到d满足以下性质: [公式] 例4(最高度量)(Example 4 (Supremum Metric)) 考虑方程[公式] 这个度规通常被称为最高度规或最高范数。我们检查这实际上是一个度规。证明: 这是一个矛盾。因为绝对值满足三角形不等式。然后，对两边取最大值，就得到了[公式] 例5( [公式] 度量)定义 [公式] 这样 这个叫做$\mathscr{l}^1$度量。我们再次检查这是一个度量。[公式] 度量 [公式] 收敛(converges)定义 收敛(converges)定义 [公式] 柯西列(Cauchy sequence)定义 柯西列(Cauchy sequence)定义 [公式] 开集(open)定义： 开集(open)定义： [公式] 连续(continuous)定义 连续(continuous)定义 [公式] 因此，我们有这些(几乎直接的)度量空间的定义: 定义7(收敛序列) 定义7(收敛序列)[公式] 定义8(柯西序列) 定义8(柯西序列) [公式] 定义9(开集) 定义9(开集) [公式] 然而，连续函数有点不同。通常，连续函数映射到 [公式] ，但这里我们可以让它们映射到任何其他度量空间，得到下面的定义 定义10(连续函数) 定义10(连续函数) [公式] 例11(连续函数的度量) 例11(连续函数的度量) [公式] 证明: 设[公式] 。首先，我们用度量来计算d(f, h)是什么 [公式] 例14 我们可以更进一步。定义[公式] 为连续可微函数空间。换句话说，连续的函数，它的一阶导数是连续的。考虑: [公式] 证明： 首先，注意如果[公式] ，那么它们都是连续的(即它们都在 [公式] 中)。因此, [公式] 正如我们在前面的例子中证明的那样。同样，假设f'， g'， h'是连续的。因此, [公式] 例16，显示映射c[公式] 是连续的 证明: 令[公式] 我们想证明，给定€> 0，存在一个δ> 0，使得如果 [公式] ，则 [公式] 因此[公式] 平凡度量 我们定义平凡度规。选择一个集合X，然后定义 [公式] 例21：[公式] 问题与解答: [公式] 以及 在数学中，[公式] 这个记号中的上标 0 表示函数的连续性层级。具体来说： 进一步扩展，我们可以讨论更高阶的连续性：
