一个数学问题,为什么只有五种多面体是正多面体?
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发布时间：2024-12-12 14:29
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时间：2025-01-20 16:42
在数学领域，正多面体的定义是每个面都是正多边形，每个顶点周围都有相同的棱数。我们设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点是m条棱。由此，棱数E可以表示为F(面数)与n的积的一半，即Nf=2E。同时，E也应是V(顶点数)与M的积的一半，即mV=2E。通过这两个公式，可以推导出F=2E/n，V=2E/m。进一步地，将这些表达式代入欧拉公式V+F-E=2，我们得到2E/m+2E/n-E=2。
通过进一步整理，可以得出1/m+1/n=1/2+1/E。由于E是正整数，1/E>0，所以1/m+1/n>1/2。这表明m,n不能同时大于3，否则上述不等式不成立。另一方面，m和n的意义是正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数，因此m>=3且n>=3。这意味着m和n至少有一个等于3。
当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6，n是正整数，所以n只能是3，4，5。同理，当n=3时，m也只能是3，4，5。因此，n和m的组合仅限于以下几种情况：(3,3)，(4,3)，(3,4)，(5,3)，(3,5)。这些组合分别对应正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
由于上述五种多面体确实可以用几何方法构造，而无法找到其他类型的正多面体，因此我们确定正多面体只有五种，这体现了《几何原本》的最高成就。
