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(Ⅰ)∵f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0),
∴f′(x)=3ax2+2bx-a2(a>0)
依题意有?13和1是方程3ax2+2bx-a2=0的两根
∴?2b3a=23?a3=?13解得a=1b=?1,∴f(x)=x3-x2-x.(经检验,适合).(4分)
(Ⅱ)∵f′(x)=3ax2+2bx-a2(a>0),
依题意,x1,x2是方程f′(x)=0的两个根,∵x1x2=-a3<0且|x1|+|x2|=23,
∴(x1-x2)2=12.
∴(?2b3a)2+4a3=12,∴b2=3a2(9-a)
∵b2≥0∴0<a≤9.
设p(a)=3a2(9-a),则p'(a)=54a-9a2.
由p′(a)>0得0<a<6,由p′(a)<0得a>6.
即函数p(a)在区间(0,6]上是增函数,在区间[6,9]上是减函数,
∴当a=6时,p(a)有极大值为324,∴p(a)在(0,9]上的最大值是324,
∴b的最大值为18.(9分)
(Ⅲ)∵?13是f(x)的一个极值点,
∴f′(?13)=0,又f'(x)=3ax2+2bx-a2