如图,O是直角坐标原点,A、B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点,且...
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发布时间：2024-10-18 07:11
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时间：9分钟前
令OA和OB的斜率分别为k, -1/k； 二者的方程分别为y = kx, y = -x/k
为方便起见，不妨令k > 0
分别与抛物线联立，得A(2p/k², 2p/k), B(2pk², -2pk)
从A, B向y轴做垂线，垂直分别为A'(0, 2p/k), B'(0, -2pk)
三角形AOB的面积 = 梯形AA'B'B的面积 - 三角形AOA'的面积 - 三角形B'OB的面积
= (1/2)(AA' + BB')*B'A' - (1/2)*OA'*A'A - (1/2)*B'B*B'O
= (1/2)(2p/k² + 2pk²)*(2p/k + 2pk) - (1/2)*(2p/k)*2p/k² - (1/2)*2pk²*2pk
= 2p²(k + 1/k)
k = 1/k时面积最小, 为4p²; 此时A, B关于x轴对称。
