已知圆 O:x2+y2=4,圆内有定点P(1,1),圆周上有两个动点A,B,使PA⊥P...
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发布时间：2024-10-01 05:06
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时间：2024-10-01 05:17
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点Q（x，y），
则x1+x2=2x，y1+y2=2y，
又P（1，1），且PA⊥PB，
∴|AB|2＝|PQ|，即|AB|2=4|PQ|2，
则(x1?y1)2+(x2?y2)2＝4(x?1)2+4(y?1)2．
整理得：x12+y12+x22+y22?2(x1y1+x2y2)＝4(x?1)2+4(y?1)2 ①
又∵点A、B在圆上，∴x12+y12＝x22+y22＝4 ②
再由PA⊥PB，得PA?PB＝0，即（x1-1）（x2-1）+（y1-1）（y2-1）=0．
整理得：x1x2+y1y2-（x1+x2）-（y1+y2）+2=0，
∴x1x2+y1y2=2x+2y-2 ③
把②③代入①得：(x?12)2+(y?12)2＝32．
∴AB的中点Q的轨迹方程为(x?12)2+(y?12)2＝32．
故答案为：(x?12)2+(y?12)2＝32．
