椭圆与双曲线有什么性质?
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椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为k(PM)、k(PN)时,那么k(PM)与k(PN)之积是与点P位置无关的定值.
过椭圆焦点且垂直于X轴的直线截椭圆的弦长为2b²/a(椭圆与双曲线的最短弦)
焦准距为b²/a
P1P2是椭圆x²/a²+y²/b²=1
(a＞b＞0)的平行于y轴的弦,A1(-a,0)、A2(a,0).
P1A1与P2A2的交点的轨迹方程为：x²/a²-y²/b²=1,
(y≠0)
共轭双曲线,例如x²/a²-y²/b²=1的共轭双曲线是y²/b²-x²/a²=1,它们有以下性质：
(1)有相同的渐近线x/a±y/b=0
(2)有相同的焦距长,它们的焦点共有四个,都位于x²+y²=a²+b²上
(3)若它们的离心率为e1,e2,则有1/e1²+1/e2²=1
P(x0,y0)是双曲线x²/a²-y²/b²=1上任一点,过P作两渐近线的平行线,分别与另一渐近线交于Q、R.
则平行四边形ORPQ的面积为定值ab/2
A1、A2是一个圆的一条直径的两个端点,P1P2是与A1A2垂直的弦.
直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程：x²-y²=r²
(以A1A2所在直线为x轴,A1A2的中垂线为y轴)
处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,设A(x1,y1)、B(x2,y2)为椭圆x²/a²+y²/b²=1
(a＞b＞0)上不同的两点,M(x0,y0)是AB的中点,则K(AB)K(OM)=-b²/a²
对于双曲线x²/a²-y²/b²=1
(a,b＞0)
类似可得K(AB)K(OM)=b²/a²
对于抛物线y²=2px
(p≠0)有K(AB)=2p/(y1+y2)
