最小模型
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发布时间：2022-04-27 03:43
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时间：2022-06-25 16:27
可以选择模型参数L2范数最小作为先验信息，这样反演问题变为如下目标函数取极小的最优化问题:
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式(7.4)中:第一项为模型参数L2范数最小条件;f(ξ)是加权系数，也可以取为常数1;第二项是数据拟合误差项，其中λi为拉格朗日条件系数;E是个泛函，它是m(ξ)的函数。
式(7.4)实际上就是泛函求极小值问题，也就是要求一个函数m(ξ)使得泛函E取极小值。在数学上称泛函极值问题为变分问题。
泛函的一个经典的例子是“最速降线问题”。这个问题是约翰·伯努利(瑞士人)于1696年6月在《教师学报》上提出的。这个问题是这样的:
连接不在同一条垂线的两点A、B的曲线为y(x)，求使质点无摩擦地从A点滑至B点所用时间t最小的曲线y(x)。
这个问题就是一个泛函求极值问题。滑动时间t是曲线y(x)的泛函。连接A、B两点的曲线有无穷多个，要找出用时最小的曲线路径。
这样的问题还有很多，如在古代迦太基人建造城市是允许居民占有一天所犁出的沟所围成的土地。一般一个人在一天犁出的沟的长度是一定的。问题变为在周长相同的情况下什么形状所围成的面积最大。
最速降线问题提出的第二年就由牛顿、莱布尼兹、雅各布·伯努利和约翰·伯努利先后给出了解答。欧拉(瑞士人，约翰·伯努利的学生)在1728年开始涉足这个领域，不久他把最速降线问题加以推广，并且考虑了摩擦和空气阻力。接着他又致力于寻找解决这类问题的一般方法。经过16年的不懈努力，终于获得成功。1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》正式出版，变分法作为一个新的数学分支诞生了。由于这部杰作，欧拉也立刻被公认为当时最伟大的数学家。
10年后，19岁的拉格朗日(法籍意大利人)受到欧拉方法的启发，开始研究变分法，经过4年的努力找到了解决这类问题的最佳方法。不久23岁的拉格朗日由欧拉推荐当选为柏林科学院的外籍院士。
设有泛函:u=f[y(x)]，与函数的微分形式类似有变分定义:
δy=y1(x)-y0(x)，δu=u'(y)δy (7.5)
同样泛函取极值问题与函数取极值问题也类似:泛函u取极值的条件是它的变分δu为零。即
要使泛函u=f[y(x)]为极值，则必有δu=0 (7.6)
当然泛函取极大还是极小要依二阶变分而定，在实际应用中可以根据具体的数学或物理问题判断。
因此对于反演问题，要想使式(7.4)目标函数取极小，则必有它的变分为零:
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由于δm(ξ)的任意性，所以有
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即
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整理得
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式(7.10)就是连续介质的解，但是αi还未确定。下面求αi。
将式(7.10)代入式(7.2)得
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由于累加变量k与i无关，此外αk也与ξ无关，所以可以把∑ 和αk移到积分号外面:
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其中:
表示内积。式(7.10)、式(7.12)可以写为矩阵形式:
d=Gα (7.13)
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其中:d、α、g为M维列向量;G为M×M矩阵。
由式(7.13)可以解出:
α=G-1d (7.15)
代入式(7.14)可得连续介质的解:
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至此连续介质L2范数最小模型反演问题得以解决。利用式(7.16)可以求出任意一点ξ处的模型参数值。
但是式(7.16)的计算要求我们明确地知道gi(ξ)核函数的形式，只有这样才能进行计算。但是在大多数复杂模型情况下，难以写出gi(ξ)具体的解析形式，即使写出解析式，计算式(7.12)的积分也很困难，因此积分计算只能采用离散的数值计算方法。在这种情况下连续介质反演的优点意义不大，但是它与前面介绍的离散介质的反演方法如最小二乘法相比还是有一个优点:不需要迭代计算(当然前提条件是能写出数据方程)。
下面用一个实例来说明有限数据连续模型的反演过程。
[例1]已知地球的质量和转动惯量求地球的连续密度模型(两个数据的重力问题)。
解:地球的质量为
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其中:M为地球质量;r为距地心的距离;R为地球半径;ρ(r)为地球的密度函数。
在球坐标下，地球的转动惯量为
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其中:I为地球的转动惯量;r2sinφdrdφdθ为球坐标的体积元。
令u=r/R，ρ1(u)=ρ(Ru)，则式(7.17)和式(7.18)变为
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式(7.19)和式(7.20)相当于两个数据方程:
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假如在式(7.21)和式(7.22)中已知地球的质量和转动惯量，可以利用本章的BG反演方法求地球的连续密度模型。
地球的质量可以用万有引力定律及牛顿第二定律求得:
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其中:G=6.672×10-11m3/(kg·s2)，为万有引力常数;a=9.8m/s2，为重力加速度;R=6370×103m，为地球半径。将式(7.24)代入式(7.21)得
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通过地球和月球的运动可以大致计算出地球的转动惯量I=7.545×1037kg·m2。因此式(7.22)变为
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下面就用式(7.25)和式(7.26)两个数据方程求地球密度的最小模型。数据方程的核函数向量为g，数据向量为d，则
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令权函数为常数1，则可以利用式(7.12)计算矩阵G:
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它的逆矩阵为
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所以
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代入式(7.16)得地球密度的最小模型:
ρ1(u)=αTg=44800.91u2-49869.28u4 (7.31)
图7.1为地球的最小连续模型。从图中可知这个模型与我们所知的地球模型差别很大。它在地表的密度为-5068.367kg/m3，而在地心的密度为0，这显然是不对的。但是把式(7.31)模型代入式(7.25)和式(7.26)却能很好地拟合数据。可见能拟合数据的结果不一定是真实的模型。我们只是从无穷多个解中按某种标准(这里是最小模型)选出了一个模型，这就体现了连续介质反演的多解性。下面我们尝试一下其他的标准，如最平缓模型、最光滑模型。
图7.1 BG反演所得地球最小连续模型
