定积分和双重积分
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发布时间：2022-04-21 01:23
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热心网友
时间：2022-06-17 02:15
定积分与二重积分、三重积分有3点不同：
一、三者的概述不同：
1、定积分的概述：定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
2、二重积分的概述：二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。
3、三重积分的概述：设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n）。
体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)，作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)；
则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
二、三者的几何意义不同：
1、定积分的几何意义：表示平面图形的面积。
2、二重积分的几何意义：表示曲顶柱体体积。
3、三重积分的几何意义：表示立体的质量。
三、三者的注意事项不同：
1、定积分的注意事项：一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
2、二重积分的注意事项：平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
3、三重积分的注意事项：当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。
定积分与二重积分、三重积分均是高等数学中重要内容，其中，定积分是学习二重积分、三重积分的基础。
参考资料来源：百度百科-定积分
参考资料来源：百度百科-二重积分
参考资料来源：百度百科-三重积分
热心网友
时间：2022-06-17 02:15
问题很抽象。
从变量维度区分：
一般的定积分指的一元函数积分；二重积分是二元函数的积分，三重积分是三元函数的积分。
从几何意义来说：
一般定积分是求面积；二重积分求曲顶柱体体积，三重积分求空间封闭区域体积
热心网友
时间：2022-06-17 02:16
从应用上来说，定积分用来算曲边梯形面积；二重积分可以算空间旋转体的面积于体积，我觉得二重积分其实是针对旋转体的，因为空间体是三维的，需要xyz三个坐标表示，但是旋转体的特性便是根据xy平面上的旋转面的数据就可以推算旋转体的体积于面积，所以就有了二重积分。比如由直角三角形绕直角边旋转一周得到圆锥体的体积面积计算；三重积分就是来算二重积分无法计算的非旋转体的体积。比如三菱锥。
