怎么求二次函数解析式的方程？
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发布时间：2022-04-22 18:46
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时间：2023-07-03 10:58
求二次函数解析式的三种方法如下：
在初中数学教材里，二次函数的解析式一般有以下三种基本形式：
1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。
2、顶点式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。
3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式的方法我们一般采用待定系数法，即将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
我们结合待定系数法和三种二次函数基本形式来确定函数关系式，一定要根据不同条件，设出恰当的解析式，具体如下：
1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)来求解。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y=a(x－m)2+k(a≠0)来求解。
3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)来求解。
值得注意的是，用交点式来求二次函数的解析式，前提条件是二次函数与x轴有交点坐标。
求解二次函数解析式，典型例题分析1：
已知一个二次函数图象经过（-1，-3）、（2，12）和（1，1）三点，那么这个函数的解析式是_______。
解：将点（-1，-3）、（2，12）和（1，1）坐标代入y=ax2+bx+c，可得：
-3=a（-1）2+b（-1）+c
12=a·22+b·2+c
1=a·12+b·1+c
解得a=3,b=2,c=-4。
因此所求函数解析式为y=3x2+2x-4。
求出待定系数a,b,c,进而获得解析式y=ax2+bx+c.
解题反思：
已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax2+bx+c,将三个点的坐标代入，把问题转化为求解一个三元一次方程组，易得a=3,b=2,c=-4，故所求函数解析式为y=3x2+2x-4。
求解二次函数解析式，典型例题分析2：
已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。
解：设此二次函数的解析式为，由题意得：
-9=a（-1）2+b（-1）+c
-3=a·12+b·1+c
-5=a·32+b·3+c
解得a=-1,b=3,c=-5。
∴所求的二次函数的解析式为
求解二次函数解析式，典型例题分析3：
在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），求抛物线的解析式。
解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，
将B点坐标代入函数解析式，得（5﹣1）2a﹣1=3，
解得a=0.25．
故抛物线的解析式为y=0.25（x﹣1）2﹣1.
求解二次函数解析式，典型例题分析4：
已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求解析式。
解：设抛物线y=a(x－m)2+k，由题意得：
m=-1，k=-2
∴y=a(x+1)2-2
∵抛物线过点（1，10）
∴a(1+1)2-2=10
所以a=3
即解析式为y=3x2+6x+1.
求解二次函数解析式，典型例题分析5：
已知二次函数的图象与轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式。
解：设所求解析式为y=a(x+5)(x－2)
∵图象经过（3，－4）
∴a(x+5)(x－2)=-4
∴a=-0.5
即：y=0.5(x+5)(x－2)
则所求解析式为y=-0.5x2-1.5x+5.
求解二次函数解析式，典型例题分析6：
已知抛物线y=-2x2+8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A点，且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点
∴设二次函数的解析式为y=ax(x-3)
∵y=-2x2+8x-9的顶点为A（2，-1）。
∴将A点的坐标代入y=ax(x-3),
得到a=0.5
∴y=0.5x(x-3),
即y=0.5x2-1.5x.
记住二次函数的解析式一般有以下三种基本形式：
1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。
2、顶点式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。
3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
