有理数运算意义是什么意思
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发布时间：2022-04-23 06:13
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时间：2023-07-04 11:38
1.正数和负数
我们知道，数学中已经认识的数都是从社会实践活动中抽象出来的。在小学阶段学习的正整数，正分数和零都是表示某种量的多少。正数和负数的引入，是因为在实际生活中存在大量具有相反意义的量，它用小学学过的数，不能明确表示其相反的情况。例如某天的某一时刻，在A城是零上10℃，在B城则是零下10℃，仅用度数“10”就不能把两地的温度区别描述出来。又如甲向北走5公里，乙向南走5公里，这个距离“5”也不能把甲、乙两人走的方向描述出来。我们把“零上x度与零下x度”，“向北5公里和向南5公里”等称之为具有相反意义的量。若把其中某个意义的量规定为正量，则与它意义相反的另一个量就规定为负量。如“零上10℃”规定为正10℃，则零下10℃就为负10℃。把正量和负量的单位去掉，就得到正数和负数的概念。像5、1.5、10 、9840等大于0的数叫做正数。在正数前面加上“－”（读作负）号的数，如－5、－1.5、－10 、 －9840等叫做负数。其中，正数前面的“+”号可以忽略不写。
在有关具有相反意义的量的问题中，是否有“既不向上，也不向下”，“既不向北，也不向南”的情况呢？答案是肯定的。“正的量”和“负的量”的分界点，是既不正也不负的，这点应该用小学学过的“零”来表示。所以零既不是正数，也不是负数。而是正数、负数的分界，是唯一的一个真正的中性数。过去，零表示“没有”，在学习了具有相反意义的量以后，我们知道它还有丰富的实践意义。如0℃，不是表示没有温度，而是表示冰点这样一个固定的温度。
虽然生活中存在大量具有相反意义的量，但不是所有的量都能找到具有相反意义的量。如“马路宽2米”就不具有相反意义的量。
要注意小学时“+”、“－”号只是加、减运算符号。有了正、负数后，“+”、“－”号也是数的性质符号。
我们把小学学过的正整数和正分数统称正有理数。在正整数前面放上负号，便得到负整数，在正分数前面加上负号，便得到负分数。负整数和负分数统称负有理数。正有理数、零和负有理数统称为有理数。其中，正数和0也叫做非负数。
正整数（自然数）
正有理数 正分数
有理数 零
负有理数 负整数
负分数
有理数还可以做如下的分类：
正整数（自然数）
整数 零
有理数 负整数
分数 正分数
负分数
即“整数和分数统称有理数”。要注意，有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的分数，这时分数包括整数。本章中的分数是指不包括整数的分数。
还要注意小数和分数的关系：分数都可以化成小数（有限小数或无限循环小数）；小数中的有限小数和无限循环小数可以化成分数，都是有理数。无限不循环小数化不成分数，不是有理数，如π等。
2.数轴
在生活中，我们常常遇到标有数码的量器，如刻度尺、温度计、称杆等。把数标在这样的一条直的物品上，会给我们的研究带来很大的方便。
为了在一条直线上标记有理数，先确定正、负数的分界点 零的位置，叫做原点。然后规定出正方向和单位。这样就得到了一条能标记有理数的直线。
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。如
－2 －1 0 1 2 （A） 1 0 －1 （B）
1
0 （C）
－1
都是数轴。但习惯上，一般画图形（A），画一条水平放置的直线，规定从左到右的方向为正方向。（从原点向右为正方向，从原点向左为负方向）即原点右边的数表示正数，原点左边的数表示负数，原点表示零。一定要记住原点、正方向和单位长度是数轴的三个要素，三者缺一不可。
数轴的引进把数与图形上的点联系起来，所有的有理数都可以用数轴上的点表示，这是数与形的结合，数形结合是学习数学的一个重要方法。
3.相反数
象2和－2在数轴上到原点的距离相等。只有符号不同，我们称作这两个数互为相反数。
只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数。0的相反数是0。
通过对相反数在数轴上的位置的观察，我们发现每一组相反数都分别在原点的两边，到原点的距离相等，只有符号不同。从而得到相反数的几何意义：
在数轴上的原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数叫做互为相反数。0的相反数是零。
一般地，数a的相反数是－a，这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数或0。例如当a=+7时，－a=－7，因为7的相反数是－7。当a=－5时，－a=－（－5）=5，因为－5的相反数是5。当a=0时，－a=－0=0，因为0的相反数是0。
4.绝对值
从数轴上看（即绝对值的几何意义），一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。
由上面绝对值的几何意义很容易知道，|2|=2，|－2|=2，|0|=0。用文字语言叙述就是：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
我们把上述关系用式子表示，即
a (a>0 ) a (a≥0 ) a (a>0 )
|a|= 0 (a=0 ) 或|a|= 或|a|=
－a (a<0 ) －a (a<0 ) －a (a≤0 )
从上面不同的三个角度来研究绝对值，我们发现有理数的绝对值不能是负数，只能是正数或0，即绝对值是一个非负数。
5.有理数大小的比较
由正有理数的大小排列我们可以知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，于是规定“数轴上右边的点所表示的数大于左边的点所表示的数。”
根据这个规定，可以知道：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。
对于两个正数的大小，小学时我们已经知道。关于两个负数的比较大小，我们虽然已经可以根据它们在数轴上的位置确定，但是我们希望把它们转化为正数来进行比较，这样会使计算简便。如|－3|=3，|－2|=2，因为3>2，所以|－3|>|－2|而由数轴可知－3<－2，即“两个负数，绝对值大的反而小”。
