时间序列预测法的运用例子
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某一城市从1984年到1994年中，每年参加体育锻炼的人口数，排列起来，共有11个数据构成一个时间序列。我们希望用某个数学模型，根据这11个历史数据，来预测1995年或以后若干年中每年的体育锻炼人数是多少，以便于该城市领导人制订一个有关体育健身的发展战略或整个工作计划。不同的时间序列有不同的特征，例如一个人在一年中每天消耗的粮食基本上是相同的，把这365个数字排列起来。发现它所构成的时间序列总保持在一定水平，上下相差不太大，我们称它是平稳时间序列。它的取值和具体是哪个时期无关，只和时期的长短有关。一般来说．只有属于平稳过程的时间序列．才是可以被预测的。 表11980～1999年扬州市农业总产值 单位：万元
年份 农业总产值 年份 农业总产值 年份 农业总产值
1980 220.553 1987 345.560 1994 483.960
1981 236.285 1988 357.909 1995 549.807
1982 267.120 19 357.788 1996 600.986
1983 278.787 1990 357.671 1997 620.281
1984 312.0 1991 305.855 1998 667.542
1985 331.172 1992 362.848 1999 711.741
1986 338.848 1993 414.2
表1是扬州市1980～1999年农业总产值的有关数据资料，资料摘自《扬州统计年鉴2000》，表中产值按1990年不变价格计算。根据表1时间序列的资料，画出时间序列折线图1。通过观察时间序列图，可以看出此时间序列具有明显的趋势变动。在1980～1999年20年间，扬州市农业总产值总体呈明显的上升趋势。农业总产值的变化分为两个时间段：1980～1990年时间序列呈曲线变化趋势，1991～1999年时间序列呈线性变化趋势。根据直观的判断，对时间序列采取分段处理的方法，即对1980～1990年的时间序列拟合二次曲线趋势模型，对1991～1999年的时间序列拟合线性趋势模型。
图1农业总产值折线图 (1)二次曲线趋势模型：Yt=a+bt+ct^
上述方程中的三个未知参数a、b、c根据最小二乘法求得。即对时间序列拟合一条趋势曲线，使之满足下列条件：各实际值Yt与趋势值〖AKY^〗t的离差平方和为最小，即∑(Yt-〖AKY^〗t)2=最小值，得到标准求解方程：
∑Y=na+b∑t+c∑t^2
∑tY=a∑t+b∑t^2+c∑t^3
∑t^2Y=a∑t^2+b∑t^3+c∑t^4
当取时间序列的中间时期数为原点时，有∑t=0，上式可简化为：
∑Y=na+c∑t^2
∑tY=b∑t^2
∑t^2Y=a∑t^2+c∑t^4
经过计算，得到对扬州市1980～1990年农业总产值时间序列拟合的二次曲线模型为：
Y^t=3188.1+14584.3t－705.3t^2。
(2)线性趋势模型：Y^t=a+bt
上述方程中的两个未知参数a、b也是根据最小二乘法的原理求得。
b=n∑tY-∑t∑Y/n∑t^2-(∑t)^2
a=1/n(∑Y-b∑t)
同样，为计算方便，取时间序列的中间时期数为原点，此时有∑t=0，上式可简化为：
a=1/n∑Y
b=∑tY/∑t^2
经过计算，得到对扬州市1991～1999年农业总产值时间序列拟合的线性模型为：
Y^t=524212+51090.5t
