(满分:130分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 的倒数是( ) A.
B.-
C.
D.-
2.肥皂泡的泡壁厚度大约是0.000 7 mm,将0.000 7用科学记数法可表示为( ) A.0.7×10-3 B.7×10-3
C.7×10-4
D.7×10-5
3.下列运算结果正确的是( ) A.a+2b=3ab B.3a2-2a2=1 C.a2·a4=a8 D.(-a2b)3÷(a3b)2=-b
4.一次数学测试后,某班40名学生的成绩被分为5组,第1~4组的频数分别为12,10,6,8,则第5组的频率是( ) A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
5.如图,直线a∥b,直线l与a、b分别相交于A、B两点.过点A作直线l的垂线交直线b于点C.若∠1=58°,则∠2的度数为( )
A.58° B.42° C.32° D.28°
6.已知点A(2,y1)、B(4,y2)都在反比例函数y= (k<0)的图象上,则y1、y2的大小关系为( ) A.y1>y2 B.y1 用水量(吨) 户数 15 20 25 30 35 3 6 7 9 5 则这30户家庭该月用水量的众数和中位数分别是( ) A.25,27.5 B.25,25 C.30,27.5 D.30,25 8.如图,长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为( ) A.2 m 9.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为( ) B.2 m C.(2 -2)m D.(2 -2)m A.(3,1) B. , C. , D.(3,2) 10.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2 ,E、F分别是AD、CD的中点,连接BE、BF、EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为( ) A.2 B. C. D.3 第Ⅱ卷(非选择题,共100分) 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.把答案直接填在相应位置上) 11.分解因式:x2-1= . 12.当x= 时,分式 - 的值为0. 13.要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100 m比赛,对这两名运动员进行了10次测试,经过数据分析,甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05(s),甲的方差为0.024(s2),乙的方差为0.008(s2),则这10次测试成绩比较稳定的是 运动员.(填“甲”或“乙”) 14.某学校计划购买一批课外读物,为了了解学生对课外读物的需求情况,学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查,设置了“文学”“科普”“艺术”和“其他”四个类别,规定每人必须并且只能选择其中一类.现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计,并把统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,则在扇形统计图中,艺术类读物所在扇形的圆心角是 度. , 的最大整数解是 . 15.不等式组 - - 16.如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的弦,过点C的切线交AB的延长线于点D,若∠A= ∠D,CD=3,则图中阴影部分的面积为 . 17.如图,在△ABC中,AB=10,∠B=60°,点D、E分别在AB、BC上,且BD=BE=4,将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B'DE(点B'在四边形ADEC内),连接AB',则AB'的长为 . 18.如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,2 ),C是AB的中点,过点C作y轴的垂线,垂足为D,动点P从点D出发,沿DC向点C匀速运动,过点P作x轴的垂线,垂足为E,连接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,点P的坐标为 . 三、解答题(本大题共10小题,共76分.解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明) 19.(本题满分5分)计算:( )2+|-3|-(π+ )0. 20.(本题满分5分)解不等式2x-1> 21.(本题满分6分)先化简,再求值: - - ,并把它的解集在数轴上表示出来. ÷ - ,其中x= . 22.(本题满分6分)某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为12元/辆,小型汽车的停车费为8元/辆.现在停车场共有50辆中、小型汽车,这些车共缴纳停车费480元,中、小型汽车各有多少辆? 23.(本题满分8分)在一个不透明的布袋中装有三个小球,小球上分别标有数字-1、0、2,它们除了数字不同外,其他都完全相同. (1)随机地从布袋中摸出一个小球,则摸出的球为标有数字2的小球的概率为 ; (2)小丽先从布袋中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标,再将此球放回、搅匀,然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标.请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标,并求出点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的概率. 24.(本题满分8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E. (1)证明:四边形ACDE是平行四边形; (2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长. 25.(本题满分8分)如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A,与反比例函数y= (x>0)的图象交于点B(2,n),过点B作BC⊥x轴于点C.点P(3n-4,1)是该反比例函数图象上的一点,且∠PBC=∠ABC.求反比例函数和一次函数的表达式. 26.(本题满分10分)如图,AB是☉O的直径,D、E为☉O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交☉O于点F,连接AE、DE、DF. (1)证明:∠E=∠C; (2)若∠E=55°,求∠BDF的度数; 的中点,求EG·ED的值. (3)设DE交AB于点G,若DF=4,cos B= ,E是 27.(本题满分10分)如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,AD=8 cm.点P从点B出发,沿对角线BD向点D匀速运动,速度为4 cm/s,过点P作PQ⊥BD交BC于点Q,以PQ为一边作正方形PQMN,使得点N落在射线PD上.点O从点D出发,沿DC向点C匀速运动,速度为3 cm/s, 以O为圆心,0.8 cm为半径作☉O.点P与点O同时出发,设它们的运动时间为t(单位:s) . (1)如图1,连接DQ,当DQ平分∠BDC时,t的值为 ; (2)如图2,连接CM,若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形,求t的值; (3)请你继续进行探究,并解答下列问题: ①证明:在运动过程中,点O始终在QM所在直线的左侧; ②如图3,在运动过程中,当QM与☉O相切时,求t的值;并判断此时PM与☉O是否也相切?说明理由. 28.(本题满分10分)如图,直线l:y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2-2ax+a+4(a<0)经过点B. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM.设点M的横坐标为m,△ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值; (3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点M'. ①写出点M'的坐标; ②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l',当直线l'与直线AM'重合时停止旋转.在旋转过程中,直线l'与线段BM'交于点C.设点B、M'到直线l'的距离分别为d1、d2,当d1+d2最大时,求直线l'旋转的角度(即∠BAC的度数). 答案全解全析： 一、选择题 1.A 由乘积为1的两个数互为倒数知选A. 2.C 把0.000 7写成a×10n(1≤|a|<10,n为整数)的形式,其中a=7,n=-4,所以0.000 7用科学记数法可表示为7×10-4,故选C. 3.D 因为a与2b不能合并,3a2-2a2=a2,a2·a4=a6,所以选项A,B,C均错.因为(-a2b)3÷(a3b)2=-a6b3÷a6b2=-b,所以选项D正确,故选D. 4.A 第5组的频数为40-(12+10+6+8)=4,所以频率为=0.1,故选A. 5.C 因为AC⊥AB,所以∠BAC=90°,在Rt△ABC中,∠ACB=90°-∠1=32°,又因为a∥b,所以∠2=∠ACB=32°,故选C. 6.B 因为k<0,所以双曲线位于第二、四象限,在每一象限内y随x的增大而增大,又0<2<4,所以y1 8.B 因为AD⊥CD,所以∠D=90°,在Rt△ABD中,AD=AB·sin 60°=4× =2 (m),在 Rt△ACD中,AC= ° = =2 (m),故选B. 9.B 由题意知A(3,0),D , ,C(0,4),设点D关于AB的对称点为F,则F , ,连接CF,此时 CF与AB的交点即为所求的点E,因为四边形OABC为矩形,所以AE∥OC. 所以△FAE∽△FOC,所以 = ,则EA=所以E , ,故选B. 10.C 如图,连接AC、BD, · = . ∵E、F分别为AD、CD的中点, ∴S△BAE= S△BAD,S△BCF= S△BCD,S△DEF= S△DAC, ∴S△BAE+S△BCF=(S△BAD+S△BCD)=S四边形ABCD=3, 又∵∠ABC=90°,AB=BC=2 , ∴S△ABC=4,S△DAC=S四边形ABCD-S△ABC=2. ∴S△DEF= , ∴S△BEF=S四边形ABCD-S△BAE-S△BCF-S△DEF=,故选C. 评析 本题考查了三角形的中线、中位线的性质,三角形面积的计算方法等知识,属中档题. 二、填空题 11.答案 (x+1)(x-1) 解析 原式=(x+1)(x-1). 12.答案 2 , - ,解析 分式 的值为0,则 即 , - . - 所以当x=2时,原分式的值为0. 13.答案 乙 解析 方差是衡量数据波动大小的量,方差越小越稳定,因为0.008<0.024,所以乙的成绩比较稳定. 14.答案 72 解析 根据题意得,样本的人数为90÷30%=300(人), 所以艺术类读物所占的百分比为60÷300×100%=20%,其所在扇形的圆心角为360°× 20%=72°. 15.答案 3 解析 解不等式x+2>1,得x>-1;解不等式2x-1≤8-x,得x≤3,所以不等式组的解集为-1 解析 连接CO,∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°, ∵∠COD=2∠A,∠A=∠D,∴∠D+∠COD=3∠A=90°, ∴∠A=∠D=30°,∴∠COB=60°,∴CO= . ∴S阴影=S△COD-S扇形COB= CO·CD-17.答案 2 解析 由折叠知△B'DE≌△BDE, ∵∠B=60°,BD=BE=4,∴△DBE为等边三角形,AD=6,DB=BE=EB'=B'D, ∴四边形BDB'E为菱形,∴B'D∥BE. ∴∠B'DA=∠B=60°. 作B'G⊥AD于点G, 在Rt△B'GD中,易得B'G=2 ,DG=2, ∴AG=AD-DG=4, ∴在Rt△AB'G中,AB'= ' = =2 . 评析 本题考查折叠的性质,等边三角形和菱形的性质,用勾股定理求边长等知识,属中档题. 18.答案 (1, ) 解析 延长BP交CE于点F,当BF⊥EC时,∠BFC=90°, 由题意知CD∥AO,∵C是AB的中点,∴D是BO的中点, π ( ) = -π . ∴CD=AO=4,易知四边形DOEP为矩形, ∴PE=DO=BD= BO= , 设DP=x,则CP=4-x, ∵∠BPD=∠FPC, ∴∠DBP=∠PCE, ∴△BDP∽△CPE, ∴ = , ∴ - = , 即( )2=x(4-x), ∴x1=1,x2=3, ∴当直线BP与直线EC第一次垂直时,x=1,即点P的坐标为(1, ). 评析 本题是平面直角坐标系中的动点问题,解答本题的关键是判定两个三角形相似,属较难题. 三、解答题 19.解析 原式=5+3-1=7. 20.解析 由题意得4x-2>3x-1,解得x>1. 这个不等式的解集在数轴上表示如下: 21.解析 原式= ( )÷ == ( - ) ( - ) - ( ) - · - . - 当x= 时,原式== - . 22.解析 设中型汽车有x辆,小型汽车有y辆. ,解得 , 根据题意,得 . .答:中型汽车有20辆,小型汽车有30辆. 23.解析 (1). (2)用表格列出点M所有可能的坐标: 横坐标 -1 纵坐标 -1 0 2 0 2 (-1,-1) (0,-1) (2,-1) (-1,0) (0,0) (2,0) (-1,2) (0,2) (2,2) P(点M落在正方形网格内)=. 24.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB∥CD,AC⊥BD, ∴AE∥CD,∠AOB=90°, 又∵DE⊥BD,即∠EDB=90°, ∴∠AOB=∠EDB. ∴DE∥AC. ∴四边形ACDE是平行四边形. (2)∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6, ∴AO=4,DO=3,∴AD=CD= =5. 又∵四边形ACDE是平行四边形, ∴AE=CD=5,DE=AC=8. ∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18. 评析 本题考查菱形的性质,平行四边形的性质和判定,属容易题. 25.解析 ∵点B(2,n)、P(3n-4,1)在反比例函数y= (x>0)的图象上, , ∴ , ∴ - , . ∴反比例函数的表达式为y= (x>0). 解法一:过点P作PD⊥BC于点D,并延长交AB于点P', 已知∠PBC=∠ABC, 易得△BDP≌△BDP'. 由(1)得B(2,4),P(8,1), ∴P'D=PD=8-2=6. ∵BC⊥x轴,∴点P'的坐标为(-4,1). ∵点B(2,4)、P'(-4,1)在一次函数y=kx+b的图象上, , , ∴ ∴ - , . ∴一次函数的表达式为y= x+3. 解法二:过点P作PD⊥BC于点D. 已知∠PBC=∠ABC, 易得△BDP∽△BCA,BD=3,DP=6,BC=4,∴AC=8. ∴点A的坐标为(-6,0), ∵点B(2,4)、A(-6,0)在一次函数y=kx+b的图象上, , ,∴ ∴ - , . ∴一次函数的表达式为y= x+3. 评析 本题考查用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式.运用三角形全等或相似确定函数图象上点的坐标是解答本题的关键. 26.解析 (1)证明:连接AD. ∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°, 即AD⊥BC, ∵CD=BD, ∴AD垂直平分BC, ∴AB=AC,∴∠B=∠C. 又∵∠B=∠E,∴∠E=∠C. (2)∵四边形AEDF是☉O的内接四边形, ∴∠E=180°-∠AFD, 又∠CFD=180°-∠AFD, ∴∠CFD=∠E=55°, 又∵∠E=∠C=55°, ∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°. (3)连接OE. ∵∠CFD=∠E=∠C, ∴FD=CD=BD=4. 在Rt△ABD中,cos B=,BD=4,∴AB=6. 的中点,AB是☉O的直径, ∵E是 ∴∠AOE=90°. ∵AO=OE=3,∴AE=3 . 的中点, ∵E是 ∴∠ADE=∠EAB, 又∵∠AEG=∠DEA, ∴△AEG∽△DEA. ∴ = , 即EG·ED=AE2=18. 评析 本题是圆与三角形、四边形相结合的题目,考查圆周角定理,圆内接四边形的性质,锐角三角函数,相似三角形的判定与性质等,属中档题. 27.解析 (1)1. (2)如图(a),过点M作ME⊥BC于点E. 在Rt△ABD中,AB=6 cm,AD=8 cm, ∴BD=10 cm. 由∠BPQ=∠BCD,∠QBP=∠DBC,得△PBQ∽△CBD, ∴== . ∵PB=4t cm, 则PQ=3t cm,BQ=5t cm. ∵MQ=MC, ∴QE=CE= QC= (8-5t)cm, 易知△MEQ∽△DCB, ∴ = , ∴ ( - ) = , ∴t= . (3)如图(a),设QM所在直线交CD于点F. ①证明:易知△QCF∽△BCD, ∴ = , ∴ - = ,∴CF= - cm, ∴DF= t cm>DO=3t cm, 故点O始终在QM所在直线的左侧. ②如图(b),设MQ与☉O相切时,切点为G,连接OG, 则易知△OGF∽△BCD, ∴ = , ∴ . - =,∴t=. 此时PM与☉O不相切. 当t= 时,正方形PQMN的边长为4 cm,QF= cm,FG= cm. 解法一:如图(b),连接MO并延长交PQ于点H,过点H作HK⊥PM于点K, 则△MOG∽△MHQ, ∴ = ,∴ = , ∴HQ= cm. ∴PH= cm, ∴HK= cm. . ∴HK≠HQ, ∴点O不在∠PMQ的平分线上, ∴当QM与☉O相切时,PM与☉O不相切. 解法二:连接OM、OP、OQ,设点O到MP的距离为h cm, ∵S△MPQ=S△MOQ+S△POQ+S△POM, ∴×4×0.8+×4×+×4 ×h=8. ∴h= ≠0.8, ∴当QM与☉O相切时,PM与☉O不相切. 评析 本题是以四边形为载体的动态几何问题,考查了正方形的性质,圆的切线的性质,三角形相似的判定与性质等.题中相似三角形对应边的比的运算是难点,对学生的计算能力有较高的要求.属难题. 28.解析 (1)∵直线l:y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点, 当y=0时,x=1;当x=0时,y=3, ∴点A、B的坐标分别为(1,0)、(0,3). ∵点B(0,3)在抛物线y=ax2-2ax+a+4上, ∴3=a+4,∴a=-1. ∴该抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3. (2)连接OM, S=S四边形OAMB-S△AOB =S△OBM+S△OAM-S△AOB = ×3·m+ ×1×(-m2+2m+3)- ×1×3 =- m2+ m =- - + . ∵点M在第一象限,∴0 ∴yM'= ,即点M'的坐标为 , . ②分别过点B、M'作BD⊥l'于点D,M'E⊥l'于点E,则BD=d1,M'E=d2,易得BM'= . ∵S△ABM'=S△ABC+S△ACM' = AC·d1+ AC·d2 = AC·(d1+d2), ∴d1+d2= △ ' . ∴当AC最小,即AC⊥BM'时,d1+d2最大. 此时d1+d2=BM',∴AC= '= . 在Rt△ABC中,AB= ,AC= ,∴cos∠BAC=∴∠BAC=45°. 评析 本题为二次函数综合题,考查了用待定系数法求二次函数的解析式,三角形面积的最值问题,以及二次函数的性质.本题为压轴题,属难题. =. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容