理论前沿２０１４年第３期 最小公倍数应用初探 安生花 （宝塔区中银希望小学，陕西延安７１６０００） 【摘要１ 最小公倍数是小学数学中的基础课程，与日常生活关系密切。本文介绍了最小公倍数的概念、起源，接着在最小公倍数的规 律中选取了其中的三种予以深入分析，分别是一个正整数除以若干个不同的正整数，余数相同；一个正整数除以若干个不同的正整 数，除数与余数之差相等；一个正整数除以若干个不同的正整数，除数与余数之间没有规律。 【关键词１最小公倍数；小学数学 【中图分类号】０１５６ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】１００７－４２４４（２０１４）０３－０７４－１ 例１、一个正整数除以３余２，除以５余２，除以７余２，求这个 正整数最小是多少？ 解：因为３、５、７是互质的，所以３、５、７的最小公倍数为１０５， 而１０５＋２＝１０７， １０７就是除以３４￣．２，除以５余２，除以７余２的最 小正整数。 综上所述，一个正整数除以不同的正整数，余数相同，则 这个符合条件的最小正整数就是这些不同的数的最小公倍数 加余数。 三、一个正整数除以若干个不同的正整数。除数与余数之 差相等 小学数学教学，一方面要使学生掌握最基础的数学知识， 培养学生具有迅速、正确的运算能力和观察、分析、比较、归纳 的逻辑思维能力．同时要培养学生学会用数学的眼光观察生 活，思考问题，积极参与探索、发现、解决实际问题的活动，让 学生感悟数学与生活的紧密联系，领悟数学的美感，真切的体 验到学习数学的快乐和价值．提高学生的数学学习兴趣，激发 学生应用所学知识解决问题的热情 在教学过程中，我引导学生共同对应用最小公倍数解决生 活中的实际问题做了初步的探析，从而拓宽了学生的视野，提 高了学生的数学学习兴趣和应用所学知识解决问题的能力。 一、最小公倍数的概念 例ｌ、有一盘水果．３个３个的数余２个，４＋４个的数余３个，５ 个５个的数余４个，这盘水果最少多少个？ 解：对于这道题目，我们可以先把它转化为数学问题即： 一在古代，对于最小公倍数各个国家有不同的认识．古希腊 欧几里得在《几何原本》中提出了最小公倍数概念，中国北魏 张邱建在《张邱建算经》中阐述了最小公倍数与最大公约数关 系，印度的马哈维拉与日本的关孝和也在后来给出对最小公 个正整数除以３余２，除以４余３，除以５余４，求这个正整数最 解一：第一步，从除以３余２的数中找出除以４余３的数，在 小是多少？ 倍数的理解。现在．最小公倍数的概念即如果有一个自然数ａ 能被自然数ｂ整除，则称ａ为｝ 的倍数，ｂ为ａ的约数，对于两个整 数来说．指该两数共有倍数中最小的一个。 二、一个正整数除以若干个不同的正整数，余数相同 余数２上逐次加３，都是除以３余２的数。 ２＋３＝５， ５＋３＝８， （一）一个正整数除以若干个不同的正整数，余数同为零 ８＋３＝１１，（１１就是除以４余３的数）； 例１、同学们参加野餐活动准备了若干个鸡蛋。如果每人分 得３个或４个或５个鸡蛋，都正好分完．这些鸡蛋最少有多少个？ 解：因为每人分得３个或４个或５个鸡蛋，都正好分完，所以 这些鸡蛋的个数是３、４、５的公倍数，而３、４、５的最小公倍数是 ６０，所以这些鸡蛋最少有６０个。 例２、（拓展）六（２）班学生数不超过５０人，在兴趣小组活动 时，根据活动内容不同可以分为每组３人，每组４人．每组６人， 每组８人，各种分法都刚好分完。这个班可能有学生多少人。 解：因为每组３人，４人，６人，８人都刚好分完，所以这个班 的学生数为３、４、６、８的公倍数，同时该公倍数要小于５０，即这 个班可能有学生２４或４８人。 第二步，从除以３余２，除以４余３的数中找出除以５余４的 数。即只要在１１上逐次加上３和４的最小公倍数，这样就可以保 证每个数既能除以３余２，又能除以４余３。 １１＋１２＝２３， ２３＋１２＝３５， ３５＋１２＝４７， ４７＋１２＝５９，（５９除以５余４） 因此．５９就是符合条件的最小的正整数． ．解二：因为除数与余数的差都相等：３－２＝４—３＝５—４＝１，所 以所求的数为３、４、５的最小公倍数６０减１．即５９。 由此可得：一个正整数除以若干个不同的正整数，除数与 余数之差相等，则所求数等于除数的最小公倍数减去除数与 余数的差。 四、一个正整数除以若干个不同的正整数，除数与余数之 间没有规律 例３、（拓展）中银希望小学举行了一次智力竞赛。参加竞赛 的人中，平均每１５人有３个人得一等奖，每８人有２个人得二等 奖，每１２人有４个人得三等奖。参加这次竞赛的共有９４人得奖。 求有多少人参加了这次竞赛？得一、二、三等奖的各有多少人？ 解：１５、８和１２的最小公倍数是１２０，参加这次竞赛的人数 是１２０人。 当一个正整数除以若干个不同的正整数，除数与余数之 问没有规律时．可按照下面的方法（逐次加公倍数）求符合条 件的最小正整数。 通过以上例子说明，对于一个正整数除以若干个不同的 得一等奖的人数是：３×（１２０＋１５）＝２４（人） 得二等奖的人数是：２×（１２０＋８）＝３０（人） 得三等奖的人数是：４×（１２０＋１２）＝４０（人） 正整数，除数与余数之间没有规律时，应按照逐次加公倍数分 步求符合条件的最小正整数。 作者简介：安生￣（１９６１一），女，汉族，陕西省延安市中银希 望小学高级教师．研究方向：小学教育管理。 答：共有１２０人参加了这次竞赛，其中得一等奖的２４人，二 等奖的３Ｏ人。三等奖的４０人。 （二）一个正整数除以若干个不同的正整数，余数相同，但 不为零 ７４