I是△ABC三条角平分线的交点,且CA+AI=BC.若∠BAC=80°,求∠ABC和∠AI...
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发布时间：2024-09-18 04:06
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热心网友
时间：2024-10-02 08:24
解：作ID⊥AC于D，IE⊥BC于E，IF⊥AB于F，
∵I是三角形内心，
∴AD=AF，CD=CE，BE=BF，AC+AI=AD+CD+AI=AF+CE+AI=BC=CE+BE，
∴AF+AI=BF，
在线段BF上取点O，使FO=AF，△AFI≌△OFI，
∴∠IAF=∠IOF，AI=IO，
又∵BF=OF+OB，
∴AI=OB，
∴OI=OB，
∴∠OBI=∠OIB，
∵∠BAC=80°，
∴∠IOF=∠IAF=12×80°=40°，
在△IBO中，根据三角形的外角性质，∠OBI+∠OIB=∠IOA=40°，
即2∠OBI=40°，
解得∠OBI=20°，
∵IB是∠ABC的平分线，
∴∠ABC=2∠OBI=2×20°=40°，
在△ABI中，∠AIB=180°-∠IAF-∠OBI=180°-40°-20°=120°．
热心网友
时间：2024-10-02 08:19
解：作ID⊥AC于D，IE⊥BC于E，IF⊥AB于F，
∵I是三角形内心，
∴AD=AF，CD=CE，BE=BF，AC+AI=AD+CD+AI=AF+CE+AI=BC=CE+BE，
∴AF+AI=BF，
在线段BF上取点O，使FO=AF，△AFI≌△OFI，
∴∠IAF=∠IOF，AI=IO，
又∵BF=OF+OB，
∴AI=OB，
∴OI=OB，
∴∠OBI=∠OIB，
∵∠BAC=80°，
∴∠IOF=∠IAF=12×80°=40°，
在△IBO中，根据三角形的外角性质，∠OBI+∠OIB=∠IOA=40°，
即2∠OBI=40°，
解得∠OBI=20°，
∵IB是∠ABC的平分线，
∴∠ABC=2∠OBI=2×20°=40°，
在△ABI中，∠AIB=180°-∠IAF-∠OBI=180°-40°-20°=120°．
