高三数学 三角函数的线段表示

科目 数学 重点 课题 §4.8正弦函数、余弦函数的图象与性质 正弦函数、余弦函数的图象形状及其主要性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性） 1． 利用正弦线画出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象； 2． 利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线； 3． 周期函数与（最小正）周期的意义。 教 材 分 析 难点 充分利用图形讲清正弦、余弦曲线的特性，认真梳理好讲解关键点 的顺序（包括推导步骤和图象、简图画法的安排），通过一定的训练使学生正确了解有关概念和图象性质。 1． 用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象； 2． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图； 3． 正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系； 4． 正弦函数和余弦函数的性质； 5． 周期函数的定义、周期函数的周期和最小正周期的定义，正弦函数和余弦函数的周期的求法。 1． 了解如何利用正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象； 2． 理解周期函数与（最小正）周期的意义，并通过正弦曲线、余弦曲线了解正弦函数、余弦函数的性质； 3． 会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图，会用这一方法画出与正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间[0，2π]上的简图。 使学生进一步了解从特殊到一般，从一般到特殊的辨证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用。 4课时 教法 多媒体教学 教学设备 知识目标 教 学 目 标 能力目标 情感目标 教与 学过 程设 计 教学 后记 课时安排 具体见下 第1页 共4页

教与学过程设计 （一）引入课题 电脑演示一次函数、反比例函数、二次函数、对数函数、指数函数的图象，并指出研究一种函数，我们都会去研究它的性质，如：定义域、值域、奇偶性、单调性等，而研究这些性质有一个很好的工具就是——函数图象。那么，三角函数的图象究竟是怎样的呢？它的定义域、值域、奇偶性、单调性又是如何的呢？今天，我们就一起来学习这部分内容。 （二）复习旧知 在此之前我们先复习一些必要的知识。

1．电脑演示正弦线、余弦线的定义，同时说明：当角度变化时，对应的线段MP的长度就是这个角度的正弦值。

2．电脑演示作出点（

3,sin3），为作正弦函数图象作铺垫。

（6分钟）

（三）新课

一、正弦函数的图象

下面我们一起来画正弦函数的图象。（边操作边讲解）

说明：1、这里将单位圆12等分，如果分得越细，则图象越精确，就像描点法作函数图象，点描得越多，图象越精确； 2、描点； 3、作图。

提问：我们作出了正弦函数在区间0,2上的图象，但正弦函数对任

意角均有值，即定义域为？（实数集R）如何作在其他区间上的函数图象呢？由终边相同的角的三角函数值相等知：在区间2,4上其函数图象与在

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0,2上是一样的，在2,0上也一样，在其他区间上也是一样。每隔2

π正弦函数的图象就出现一次重复，如此充满整个实数轴。可以想象，正弦函数的图象是怎样的？（电脑演示完整的正弦函数图象） 说明：正弦函数的图象叫做正弦曲线。

二、五点法作正弦函数图象

可以看出这种方法作三角函数图象是比较精确的，我们称之为：几何法。虽然几何法作图精确，但太麻烦，不容易操作。有没有简单点的方法作三角函数的图象呢？

请同学们观察在[0，2π]上正弦函数的图象，它上面哪几个点对函数图象的确定起关键作用？为什么？（基本确定图象的形状）[电脑显示这五个点，以示突出]所以我们只要画出这五个点，这个图形就基本确定了。因此，在精确度要求不太高时（画草图），我们一般可采用这种方法来画三角函数图象帮助我们分析。这种方法要比我们刚才的几何法简单得多，我们称之为：五点法。

三、余弦函数的图象

正弦函数的图象已经得到了，那我们当然急切地知道，余弦函数的图象是怎样的？别急，我们马上来研究。我们知道，正余弦函数有着十分密切的关系，正弦可以通过一些诱导公式转化为余弦，因此我们猜想它们的图象也应该有着某种联系。

下面先设法找到函数y=cosx与正弦函数y=sinx之间的关系。

由此可见：函数y=cosx与函数ysin(x)ysin(x)cosx，

22是同一个函数，因此它们的图象应该是一样的。也就是说，余弦函数的图象可以由正弦曲线向左平移

个单位得到。（电脑演示，将正弦曲线进行平移）2余弦函数的图象叫做余弦曲线。

同样在[0，2π]上的余弦曲线上哪几个点起关键作用？为什么？ 练习：

在同一直角坐标系内，用五点法分别画出函数

3ysinx,x0,2，ycosx,x,的简图。

22说明：

1、学生练习，教师稍后电脑演示（注意指出哪五点）；2、提问：这两条曲线有何关系？

四、正弦函数、余弦函数的主要性质 （计算机显示正余弦函数的图象）请同学们观察正余弦函数的图象，讨论解

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决以下几个问题，稍后请两组各推选一名代表作总结。

（1） 这两个函数的定义域分别是什么？

（2） 它们的值域分别是什么？最大值、最小值是多少，此时自变量

x等于什么？

（3） 它们的奇偶性如何？为什么？

（4） 它们的单调性如何？它有什么特殊的地方？为什么会有这种周

期性？（图象本身或者说函数本身就存在周期性）

（5） 这两个函数还有没有与其他函数不一样的性质？（提示：我们

一直在强调的；或从图象上看？）——教师引导出周期性（先感性认识，不深入）

说明：

1、学生总结后，各小组派代表阐述结论，其他同学补充； 2、教师归纳；（电脑显示正弦函数的性质） （五）作业

1． 复习P48-52； 课件上的补充题。

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