线性规划经典例题及详细解析

2xy21. 设变量x、y满足约束条件xy1，则z2x3y的最大值为 。

xy1二、 已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

x1,222. 已知xy10,则xy的最小值是 。

2xy20xy+20y

x13. 已知变量x，y满足约束条件，则 x 的取值范围是（ ）. xy-7099

A. [5，6] B.（－∞，5]∪[6，＋∞）

C.（－∞，3]∪[6，＋∞） D. [3，6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题

5x11y22,4. 某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件2x3y9,则z10x10y的最大

2x11.值是 。

四、 已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题

1xy45. 已知变量x，y满足约束条件。若目标函数zaxy（其中a0）仅在点(3,1)处

2xy2取得最大值，则a的取值范围为 。

xy56. 已知x、y满足以下约束条件xy50，使z=x+a y(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a的

x3值为（ ）

A. －3 B. 3 C. －1 D. 1

五、 求可行域的面积

2xy607. 不等式组xy30表示的平面区域的面积为 （ ）

y2A. 4 B. 1 C. 5 D. 无穷大 解析：

图1

1. 如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18。

2. 如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而xy表示可行域内

一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。xy的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

y

3. x是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线

59y9y

OM过点（2，2）时，x取得最小值5；当直线OM过点（1，6）时，x取得最大值6. 答案A 点评：当目标函数形如z图2

2222ya时,可把z看作是动点P(x,y)与定点xb这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最Q(b,a)连线的斜率，值。

4. 如图，作出可行域，由z10x10yyx率为1，纵截距为

z，它表示为斜10z的平行直线系，要使z10x10y最得最10119大值。当直线z10x10y通过A(,)z取得最大

22值。因为x,yN，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内A点附近整点B（5，4）、C（4，4），经检验直线经过Ｂ点时，Zmax90. 点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。

5. 如图，作出可行域，由zaxyyaxz其表示为斜率为a，

纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数zaxy（其中a0）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线yaxz过A点且在直线

xy4,x3（不含界线）之间。即a1a1.则a的取值范围为(1,)。

点评：本题通过作出可行域，在挖掘a与z的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。

6. 如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)

取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D。

7. 如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积

减去梯形OMAC的面积即可，选B。

y x – y + 5 = 0 x + y = 5 O x=3 x y x＋y – 3 = 0 M B A y =2 O C x 2x + y – 6= 0 = 5