一、单选题
1．执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的
（ ）
A.
B.
C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数得解. 【详解】
的值，从而计算
执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数由于【点睛】
，可得
，则输出的y等于4，故选C.
的值，
该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有读取程序框图的输出的结果，在解题的过程中，需要明确框图的功能，从而求得结果. 2．已知角的终边经过点
，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
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由题意可得，【详解】
，求出的值，逐项分析，求得结果.
由题意可得选C. 【点睛】
，所以，，，综上所述，答案
该题考查的是有关任意角的三角函数的定义，在解题的过程中，需要利用定义将角的三角函数值3．
求出，逐项对照求得结果. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
原式中的角度变形后，利用诱导公式化简计算即可得到结果. 【详解】
，
故选D. 【点睛】
该题考查的是有关运用诱导公式化简求值的问题，在解题的过程中，正确运用公式是解题的关键. 4．在
瓶牛奶中，有瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的
概率是（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
在50瓶牛奶中任取1瓶有50种不同的取法，而满足条件的取到已过保质期的牛奶有5
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种不同的取法，根据古典概型公式，代入数据，求出结果. 【详解】
由题意知，该题是一个古典概型，
因为在50瓶牛奶中任取1瓶有50种不同的取法， 取到已过保质期的牛奶有5种不同的取法，
根据古典概型公式求得【点睛】
，故选C.
该题考查的是有关古典概型的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有古典概型的概率公式，解题的关键是找出基本事件数以及满足条件的基本事件数. 5．已知A.
B. C.
，若 D.
，则
（ ）
【答案】B 【解析】 【分析】
利用题中所给的条件，求得
求得x所满足的等量关系式，求得结果. 【详解】 因为因为即【点睛】
该题考查的是有关向量垂直的条件，涉及到的知识点有向量的加法运算法则，向量垂直的条件，向量数量积的坐标公式，正确使用公式是解题的关键. 6．已知平面向量
，且
，则
的值是（ ）
，所以
，解得
，所以， ，故选B.
，
然后利用
，根据向量数量积公式
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
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首先应用向量的模的平方和向量的平方是相等的，得到其满足的式子，之后应用相关公式求得结果. 【详解】 因为平面向量
满足
，且
故选B. 【点睛】
该题考查的是有关向量的模的求解的问题，涉及到的知识点有向量的模的平方和向量的平方是相等的，利用相关公式求得结果. 7．A. B. 【答案】B 【解析】 【分析】
直接根据两角和正切公式的变形形式答案. 【详解】
，整理即可得到
C.
D.
（ ）
，则有
，
，所以
所以原式【点睛】
，故选B.
，
该题考查的是有关两角和的正切公式的逆用问题，在解题的过程中，需要分析式子的特征，可得
与
角的关系，从而借着特殊角的正切值得到结果.
8．将函数函数为（ ）
的图像向左平移个周期（即最小正周期）后，所得图像对应的
A. B.
C. D.
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【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据题中所给的函数解析式，求得其周期，从而确定个周期为，再根据三角函数图像平移的规律，得到相应的函数解析式，化简求得结果. 【详解】
根据题意，可知函数的周期为，所以个周期为，
所以平移后所得的图像对应的函数解析式为故选A. 【点睛】
，
该题考查的是有关平移后的三角函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有左右平移变换，函数的周期的求法，需要注意平移的量是自变量x本身的变化量.
9．函数 的部分图像如图所示，点是该图像的一个最高点，点
是该图像与轴交点，则（ ）
A. B.
C. 【答案】C 【解析】 【分析】
D.
首先根据两点的横坐标的差，确定出函数的最小正周期，从而求得
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，再根据最
高点的坐标，结合【详解】
，求得，从而确定出函数解析式.
根据题中所给的条件，以及所给的部分图像，
可以求得，所以，
从而得到，求得，
因为P是最高点，所以有，解得，
又因为【点睛】
，所以，所以，故选C.
该题考查的是根据函数的图像确定函数解析式的问题，注意振幅A由最值来确定，周期由来确定，初相由特殊点来确定，结合题中所给的图像，求得结果. 10．已知函数
满足
，且
，当
时
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
首先根据题中所给的条件，可以确定函数的一条对称轴和一个对称中心，从而确定出函数的最小正周期，结合【详解】 根据题意，由由
可得函数图像关于直线
可得函数图像关于点
对称，
对称，
时
，求得结果.
从而可知函数是以4为最小正周期的周期函数， 结合当可知
时
，
，故选D.
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【点睛】
该题考查的是有关函数的周期性的应用，从题的条件中判断得出函数图像的对称轴和对称中心，利用对阵中心到对称轴的距离，得到函数的周期，从而结合题中所给的相应区间上的解析式求得结果. 11．已知
，
不共线，
，
，其中
.设点是直线
，
的交
点，则（ ）
A. B.
C. 【答案】A 【解析】 【分析】
D.
首先根据从同一个起点出发的三个向量，当三个终点共线时，其中一个用另两个来表示，系数和等于1，设出两种关系，之后转化，利用一个向量在同一组基底下分解出的坐标是相等的，得到方程组，求解代入得结果. 【详解】
根据题中所给的条件， 可知
, ，
根据一个向量在同一组基底下分解出的坐标是相等的，
得到，解得，
代入可得 ，故选A.
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【点睛】
该题考查的是有关平面向量基本定理的问题，在解题的过程中，利用平面向量在同一组基底下分解出的坐标是相等的，得到方程组，求得结果. 12．下列四个函数中，图象可能是如图的是（ ）
A. C. 【答案】D 【解析】 【分析】
分别画出各个选项对应的函数图像，逐个与题中所给的图像对照，得出结果. 【详解】 函数
的图形为： B. D.
，
函数
的图像为：
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，
函数
的图像为：
，
函数
的图像为：
，
将选项与题中所给的图像逐个对照，得出D项满足条件， 故选D. 【点睛】
该题考查的是有关函数图像的选择和判断问题，在解题的过程中，可以应用几何画板将函数图像一一作出，与所给的图像对照得出结果，但是在考场上是不可能应用几何画板的，所以可以借助于同一个周期上零点的个数来得到.
二、填空题 13．为了了解量为
名学生早晨到校时间，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容
栋样本，则分段间隔为__________．
【答案】 【解析】
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【分析】
根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可. 【详解】
根据系统抽样的特征，得：
从2100名学生中抽取100个学生，分段间隔为故答案是21. 【点睛】
，
该题所考查的是有关系统抽样的组距问题，应用总体除以样本容量等于组距，得到结果，属于简单题目.
14．由茎叶图可知，甲组数据的众数和乙组数据的极差分别是__________．
【答案】【解析】 【分析】
首先从茎叶图中找到出现次数最多的数，从而得到甲组数据的众数，找出乙组数据的最大值和最小值，两者作差求得极差，得到结果. 【详解】
根据众数的定义，可以断定甲组数据的众数是21； 从茎叶图中可以发现，其最大值为故答案为21，,43. 【点睛】
该题考查的是茎叶图的应用，涉及到的知识点有一组数据的众数和极差的概念，只要明确众数是数据中出现次数最多的数，极差是最大值和最小值的差距，从而求得结果. 15．在半径为的圆内任取一点，则点到圆心的距离大于的概率为__________．
，其最小值为，所以极差为
，
【答案】
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【解析】 【分析】
根据几何概型的概率公式求解，
，
，运用面积的比得出概
率为【详解】 因为
，求得结果.
的半径为2，在内任取一点P，
则点P到圆心O的距离大于1的事件为A， 所以
，
，
所以【点睛】
，故答案是.
该题考查的是面积型几何概型的问题，在解题的过程中，需要明确面积型几何概型的概率的求解方法，需要正确求出基本事件对应的几何度量.
16．使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为__________．
数据： 【答案】
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，，，，
，，，，
【解析】 【分析】
分析程序框图的功能，在于寻找和输出一组数据的最大值，观察该题所给的数据，可知其最大值为【详解】
仔细分析程序框图的作用和功能， 所解决的问题是找出一组数据的最大值，
并指明其为第几个数，观察数据得到第八个数是最大的，且为9.7， 所以答案是9.7,8. 【点睛】
该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有框图的作用和功能，观察所给的数据，从而得到结果，所以要读取框图的作用非常关键.
三、解答题 17．设
内角
所对应的边分别是
.已知
.
，M的值即为取最大时对应的脚码，从而求得结果.
（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求【答案】（1）【解析】 【分析】
的最大值. （2）
（1）首先应用正弦定理，将式子中的角的正弦值化为边的式子，进一步求得结合三角形内角的取值范围，求得结果；
，
（2）利用三角形内角和，将式子化为一个角的函数关系式，利用差角公式和辅助角公式化简，最后结合函数的性质求得最值. 【详解】
（Ⅰ）由已知得，整理得.
所以由余弦定理得（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
，即.
即
，其中
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因为【点睛】
，所以
且. 的最大值是
.
该题考查的是有关解三角形以及三角函数的相关问题，涉及到的知识点有正弦定理，余弦定理，差角公式，辅助角公式，正弦函数的有关性质，熟练掌握知识点是解题的关键. 18．某学校高一年级有学生
名，高二年级有
学生名.现用分层抽样方法（按高一名学生，调查他们的数学学习能力.
年级、高二年级分二层）从该校的学生中抽取
（Ⅰ）高一年级学生中和高二年级学生中各抽取多少学生？ （Ⅱ）通过一系列的测试，得到这表一： 高一年级 人数 表二： 高二年级 人数 ①确定
，并在答题纸上完成频率分布直方图；
名学生的数学能力值.分别如表一和表二
②分别估计该校高一年级学生和高二年级学生的数学能力值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
③根据已完成的频率分布直方图，指出该校高一年级学生和高二年级学生的数学能力值分布特点的不同之处（不用计算，通过观察直方图直接回答结论） 【答案】（1）高一年级学生中抽取【解析】 【分析】
（1）按照成比例的原则，得到高一年级学生中抽取生；
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名，高二年级学生中抽取名学生；（2）见解析
名，高二年级学生中抽取名学
（2）根据数据所满足的条件，求得，，结合绘图的方法和其满足的条件，
画出直方图；利用组中值乘以相应的频率作和求得其平均数；结合数据以及直方图的特点，区分两个年级的数学能力值分布特点的不同之处. 【详解】
（Ⅰ）高一年级学生中抽取（Ⅱ）①
，
；
名，高二年级学生中抽取
名学生；
频率分布直方图：
高一学生数学能力值的辨率分布直方图 高二学生数学能力值的辨率分布直方图 ②样本中高一年级学生的数学能力值的平均数是：
样本中高二年级学生数学能力值的平均数是：
由此估计该校高一年级学生数学能力值的平均数是均数是.
③该校高二年级学生的数学能力值平均数高于高一年级学生，高二年级学生的数学能力值的差异程度比高一年级学生人 【点睛】
该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有分层抽样，直方图的绘制，平均值的求解，两组数据的不同之处的比较，熟练掌握基础知识是解题的关键.
19．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所花费的时间，为此进行了6次试验，收集数据如下： 零件数（个） ；
，高二年级学生的数学能力值的平
；
加工时间（小时） 中国好课堂 中国最好的高中教学资源平台
（Ⅰ）在给定的坐标系中划出散点图，并指出两个变量是正相关还是负相关； （Ⅱ）求回归直线方程；
（Ⅲ）试预测加工个零件所花费的时间？ 附：对于一组数据小二乘估计分别为：
，
，……，
，其回归直线
的斜率和截距的最
.
【答案】（1）见解析（2）【解析】 【分析】
（3）预测加工个零件花费小时.
（1）根据题意，描点作出散点图，判断得出正相关；
（2）由表中的数据，求得，，，，利用公式求得回归
直线方程；
（3）将【详解】
代入回归直线方程得，从而得结果.
（Ⅰ）散点图. 正相关.
（Ⅱ）由表中数据得：
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，，，；
计算得：，所以.
（Ⅲ）将代入回归直线方程，得即预测加工个零件花费【点睛】
小时.
.
该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有画散点图，求回归直线方程，预测某个值，总之，要求对基础知识牢固掌握，要认真读题，分析表格中的数据，利用对应的公式求得结果.
20．一只口袋有形状大小质地都相同的只小球，这只小球上分别标记着数字甲乙丙三名学生约定：
（）每个不放回地随机摸取一个球； （）按照甲乙丙的次序一次摸取； （）谁摸取的球的数字对打，谁就获胜. 用有序数组
表示这个试验的基本事件，例如：
表示在一次试验中，甲摸取表示在一次实验中，甲摸取的
.
的是数字，乙摸取的是数字，丙摸取的是数字；是数，乙摸取的是数字，丙摸取的是数字. （Ⅰ）列出基本事件，并指出基本事件的总数； （Ⅱ）求甲获胜的概率；
（Ⅲ）写出乙获胜的概率，并指出甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序是否有关？
【答案】（1）24（2）取的次序无关 【解析】 【分析】
（3）乙获胜的概率为；甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸
（Ⅰ）该问题相当于从4个数字中找出3个数字的有序数组共有多少，按照一定的顺序
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写出即可；
（Ⅱ）认真读题，判断甲获胜对应的基本事件都有哪些，之后应用公式求得结果； （Ⅲ）分析题意，得到乙获胜的概率，从而求得丙获胜的概率，可以发现与顺序无关. 【详解】
（Ⅰ）基本事件为：
基本事件的总数是
.
， ， ， .
（Ⅱ）事件“甲获胜”所包含的基本事件为：
.
甲获胜的概率为：；
（Ⅲ）乙获胜的概率为；甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序无关. 【点睛】
该题考查的是有关随机事件的概率问题，涉及到的知识点有基本事件一一列举，找出满足条件的基本事件，分析问题和解决问题的能力，注意对基础知识要牢固掌握. 21．如图，一直一艘船由岛以海里/小时的速度往北偏东
的岛形式，计划到达岛
的方向上，岛也也在时
分，该船到达处，
后停留分钟后继续以相同的速度驶往岛.岛在岛的北偏西岛的北偏西
的方向上.上午
时整，该船从岛出发.上午
此时测得岛在北偏西钟）
的方向上.如果一切正常，此船何时能到达岛？（精确到分
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【答案】该船于时【解析】 【分析】
根据题中所给的条件在
中,
，根据正弦定理可得
分到达岛.
,即，在中，，
根据正弦定理得， ,从而得到
可得结果. 【详解】 在
中,
，
,最后求得所用的时间即
根据正弦定理得，在
中，
,即，
.
根据正弦定理得， ,
即 .
所以 ，
即 ,
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从而，此船行驶和共需分钟.
分钟.
分，也正确.）
故由岛出发至到达岛全程需要即该船于时【点睛】
分到达岛.（说明：时
该题考查的是有关海上距离的测量问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦定理，注意所用的总时间与题中所涉及到的量之间的关系.
22．已知函数 ，为的零点，为图像的
对称轴，且在区间上单调.求的值.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
根据题中的条件零点和对称轴的位置，列出和所满足的等量关系式，根据函数
在
区间【详解】
上单调，得到其满足的不等关系式，分情况讨论求得结果.
由题意知：其中
所以：其中
从而：其中
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即：其中
故：【点睛】
或或或或
该题考查的是有关三角函数的性质问题，结合其条件，得到其满足的关系式，从而求得解析式中的参数问题，熟练掌握基础知识是解题的关键.
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