2017年北京东城区初三数学期末考试题及答案

初三数学试题 2017.1

学校 班级 姓名 考号

1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟. 考2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号. 生3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 须知 4．在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．1．下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是 ．．．．．．

A．x22x40 C．x24x40

B． x22x60 D．x23x50

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

3．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=4，OC=1， 则⊙O的半径为

A．3 B．5 C．25 D．6

4. 从1，2，3，4这四个数中，随机抽取两个相加，和为偶数的概率为 A.

1125 B. C. D. 323625．若将抛物线y=2x先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是 A．(2,1)

B．(2,1) C．(2,1) D． (2,1)

6．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD∶BD=1∶2，若△ADE

的面积等于2，则△ABC的面积等于

A.6 B.8 C.12 D.18

7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝23， 则阴影部分图形的面积为 A．4π C．π

B．2π D．

2π 328. 已知点A（0，2），B（2，0），点C在yx的图象上，若△ABC的面积为2，则这样的C点有

A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则b的值是 ；方程的另一个根

是 ． 10．点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数yx2x1的图象上，若x2＞x1＞1，

则y1与y2的大小关系是y1 y2．（用“＞”、“＜”、“=”填空）

11．两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图水平放置.将△CDE绕C点按逆时针方向旋转，当E点恰好落在AB边上的E点时，EE的长度为 ．

''2

12．如图所示，在△ABC中，BC=6，E，F分别是AB，AC的中点，点P在射线EF上，BP

交CE于D，点Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x.当CQ=

1CE时，y与2x之间的函数关系式是 ； 当CQ=

与x之间的函数关系式是 . 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13． 解方程：3x16x .

21CE（n为不小于2的常数）时， yn14．小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径OB=3cm，高

OC=4cm，求这个圆锥形漏斗的侧面积．

15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，

判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．

16．画图：

（1）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上，请将△OAB

绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA′B′；

（2）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个中心对称图形.在图1，图2中分别画出两种符合题意的图形.

17．已知关于x的一元二次方程 (m -2)x2 + 2mx + m +3 = 0 有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围；

(2)当m取满足条件的最大整数时，求方程的根.

18．如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．随着我国经济的发展，越来越多的人愿意走出国门旅游. 据有关报道，我国2018年和

2016年公民出境旅游总人数分别约为6000万人次，8640万人次， 求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率.

20. 如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为

点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连结BC，AF．

（1）求证：直线PA为⊙O的切线；

（2）若BC＝6，AD∶FD=1∶2，求⊙O的半径的长．

21. 某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨

余、可回收和其他三类，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C.

（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率； （2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总1 000吨

生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

A 400 30 20 B 100 240 20 C 100 30 60 a b c 试估计“厨余垃圾”投放正确的概率. ．．．．．．

22．“十八大”报告一大亮点就是关注民生问题，交通问题已经成了全社会关注的热点.为了

解新建道路的通行能力，某研究表明，某种情况

下，车流速度V (单位：千米／时)是车流密度x(单位：辆／千米)的函数，函数图象如图所示.

（1）求V关于x的函数表达式；

（2）车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量P=车流速度V×

车流密度x.若车流速度V低于80千米／时，求当车流密度x为多少时，车流量P (单位：辆／时)达到最大，并求出这一最大值．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知，二次函数yaxbx的图象如图所示.

（1）若二次函数的对称轴方程为x1，求二次函数的解析式；

（2）已知一次函数ykxn，点P(m,0)是x轴上的一个动点．若在（1）的条件下，

过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数yaxbx的图象于点N．若只有当1＜m＜

225时，点M位于点N3的上方，求这个一次函数的解析式；

（3）若一元二次方程axbxq0有实数根，请你构造恰

当的函数，根据图象直接写出q的最大值．

24． 如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°

且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q. （1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，

EF与CA的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过

点A,EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

2

25. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx(m1)xm6交x轴负半轴于点A，交

y轴正半轴于点B（0 , 3），顶点C位于第二象限，连结AB，AC，BC． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 点D是y轴正半轴上一点，且在B点上方，若∠DCB=∠CAB，请你猜想并证明CD与AC的位置关系；

(3) 设与△AOB重合的△EFG从△AOB的位置出发，沿x轴负方向平移t个单位长度

(0＜t≤3)时，△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

东城区2016-2017学年第一学期期末统一检测

初三数学试题参考答案及评分标准 2017.1

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 A 5 B 6 D 7 D 8 D 22 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

题号 答案 9 1；-2 10 11 12 y= –x+6； y= –x+6(n–1) y1＜y2  3

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13. 解方程：3x216x ． 解：移项，得

3x6x1 ． ………………..1分 二次项系数化为1，得 x2x 配方 (x1)2221 ． ………………..2分 34 ． ………………..4分 3 由此可得 x112323，x21. ………………..5分 3314. 解：根据题意，由勾股定理可知

BC2BO2CO2.

∴ BC5cm. ………………..2分

∴ 圆锥形漏斗的侧面积=OBBC15 cm2 ． ………………..5分 15．解：△ABC和△DEF相似． ………………..1分

由勾股定理，得AB25，AC5，BC=5， DE=4，DF=2，EF25． ………………..3分

5ABACBC5， ………………..4分 DEDFEF222∴△ABC∽△DEF． ………………..5分 16．（1）

………………..3分

（2）

………………..5分

17．解：(1) ∵ 关于x的一元二次方程(m -2)x2 + 2mx + m +3 = 0 有两个不相等的实数根， ∴ m20，即m2. ………………..1分 又 ∵ (2m)24(m2)(m3)4(m6)，

∴ 0即4(m6)0．

解得 m6．

∴ m的取值范围是m6且m  2． ………………..2分

(2)在m6且m  2的范围内，最大整数m为5． ………………..3分 此时，方程化为3x210x80．

∴ 方程的根为 x12， x2 ． ………………..5分

18．解： ∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，

∴ ∠B+∠D=180°． ………………..1分 ∵ 四边形OABC为平行四边形，

∴ ∠AOC=∠B． ………………..2分 又由题意可知 ∠AOC=2∠D．

∴ 可求 ∠D=60°． ………………..3分

连结OD，可得AO=OD，CO=OD．

∴ ∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC． ………………..4分 ∴ ∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠D=60°．………………..5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19. 解：设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．………………..1分 根据题意得 6000(1x)8640．………………..2分 解得x10.2，x12.2（不合题意，舍去）．………………..4分 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%． ………………..5分 20．解：（1）证明：如图，连接OB ．

∵ PB是⊙O的切线， ∴ ∠PBO＝90°．

∵ OA＝OB，BA⊥PO于D， ∴ AD＝BD，∠POA＝∠POB． 又∵ PO＝PO， ∴ △PAO≌△PBO． ∴ ∠PAO＝∠PBO＝90°．

∴ 直线PA为⊙O的切线． ………………..2分

243（2）∵ OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，

∴ OD＝

1BC＝3． 2设AD＝x．

∵AD∶FD=1∶2，

∴ FD＝2x，OA＝OF＝2x－3．

在Rt△AOD中，由勾股定理 ，得(2x－3)2＝x2＋32． 解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）． ∴ AD＝4，OA＝2x－3＝5．

即⊙O的半径的长5． ………………..5分 21. 解：（1）三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下：

………………..2分

31；………………..3分 934002（2）“厨余垃圾”投放正确的概率为. ………………..5分

4001001003由树状图可知垃圾投放正确的概率为

22. 解：（1）当0x28时，V80. ………………..1分

8028kb,当28x188时，设Vkxb，由图象可知，

0188kb.1k,解得：2

b94.∴ 当28x188时，V（2）根据题意，得

1x94. ………………..3分 21121PVx-x+94x-x294x=-x-944418.

222答：当车流密度x为94辆/千米时，车流量P最大，为4418辆/时. …………..5分 23. 解：（1） 二次函数的对称轴方程为x1，由二次函数的图象可知

二次函数的顶点坐标为（1,-3），二次函数与x轴的交点坐标为(0,0),(2,0)，

于是得到方程组ab3, ……………………………………..2分

4a2b0.解方程得a3,

b6.2 二次函数的解析式为 y3x6. ……………………………………..3分 （2）由（1）得二次函数解析式为y3x6．

依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和，

253由此可得交点坐标为(1,3)和(,)． …………………………..4分 将交点坐标分别代入一次函数解析式ykxn中，

5353 kn3，得55

kn.33 k2， 解得 

n5．∴ 一次函数的解析式为y2x5． ……………………………..6分 （3）3. ……………………………………………..7分 24．解：（1）∵ ∠BAC=90°，AB=AC=2，

∴ ∠B=∠C，BC22．

又∵FEBFEDDEBEQCC,DEFC, ∴ ∠DEB=∠EQC. ∴ △BPE∽△CEQ． ∴

BPCE． BECQ设BP为x，CQ为y， ∴

x2． y2∴ y

2． x

自变量x的取值范围是0＜x＜1． ……………………………..3分

（2）解：∵ ∠AEF=∠B=∠C,且∠AQE＞∠C,

∴ ∠AQE＞∠AEF . ∴ AE≠AQ .

当AE=EQ时，可证△ABE≌ECQ. ∴ CE=AB=2 .

∴ BE=BC-EC=222.

当AQ=EQ时，可知∠QAE=∠QEA=45°. ∴ AE⊥BC .

∴ 点E是BC的中点.

∴ BE=2.

综上，在∠DEF运动过程中，△AEQ能成等腰三角形，此时BE的长为222 或

2. ……………………………..7分

25．解：（1）

抛物线yx(m1)xm6与y轴交于点B（0 , 3），

222∴ m63. ∴ m3.

抛物线的顶点在第二象限， ∴ m3.

∴ 抛物线的解析式为

yx22x3. ………2分

（2）猜想：CDAC. ………3分

证明如下：

A（-3 , 0）， B（0 , 3），C（-1 , 4）， ∴ AB32,AC25,BC∴ ABBCAC.

2222. ∴ ABC90.

∴ CABACB90. 又

CABDCB,

∴ DCBACB90. ∴ CDAC. ………4分

（3）当0＜t≤3时，如图， EF交AB

2 于点Q，GF交AC于点N，过N做MP//F E交x轴于P点，交BF的延长线点M， BF的延长线交AC于点K． 由△AGN∽△KFN，得即

AGPN， KFMNt3t2PN. 解得PN＝2t．

3PN111333(3t)2t2tt33t. 2222∴S阴影=SFGESQAESAGN

当3＜t≤3时，如图， EF交AB于点N，

2交AC于点M,BF交AC于点P． 由△AME∽△PMF，

AEME． PFMF3tME即． 33MEt2得

解得ME＝2(3－t)．

∴S阴影=SMAESNAE综上所述：

1119(3t)2(3t)(3t)2t23t. 2222332t3t (0t≤),22S＝ ………………………………………….8分 193t23t (t≤3).222