从设计水槽看探索无止境

２００６年第１０期　数学教学　ｌＯ一２ｌ　从设计水槽看探索无止境　６３６０３１四ＪＩｌ省巴中市巴州区大和初中李发勇　《课程标准》指出“动手实践、自主探究、合　作交流是学生学习数学的重要方式”，现在无论　是“双基”教学，还是能力训练，探索已成为一种　常见的教学方式和学习方式，贯穿于数学教学活　动的始终．案例如下：　现有边长为１２０　ｃｍ的正方形铁皮，准备将它　设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水　流量最大．　初三（１）数学兴趣小组经过讨论得出结论：在　水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，　则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽　的横截面进行了如下探索：　方案一：把它折成横截面为直角三角形的水　槽（如图１），若　Ｂ＝９０。，设　Ｃ＝ｚｃｍ，该　水槽的横截面面积为ｙｃｍ　，请你写出　与　的函　数关系式．并求当　取何值时，　的值最大，最大　值是多少？　Ａ　７　Ｂ　图１　方案二：把它折成横截面为等腰梯形的水槽　（如图２），若ＸＡＢＣ＝１２０。，请你求出该水槽的　横截面面积的最大值，并与方案一中的　的最大　值比较大小．　图２　假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供　两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．　画出你设计的草图，标出必要的数据．　这是一道数学总复习中选用的一个问题，起　点低，实践性强，在利用现代信息技术的探索活　动中，着实让人难以忘怀．　关于方案一：ｙｔ＝－０．５ｘ　＋６０ｘ＝－０．５（ｘ一　６ｏ）　＋１８００　ｆ０＜　＜１２ｏ）．　’．．当　＝６０ｃｍ时，　ｌ的最大值为１８００ｃｍ　．　关于方案二：设ＡＢ＝ＣＤ＝　ｃｍ，则　ＢＣ＝１２０－２ｘ，过　作　Ｅ上ＡＤ于Ｅ，ＺＥＣＤ　：３０。，　Ｅ＝　．　・．．　２：一　２＋６０　（０＜　＜６０）．　当　＝４０ｃｍ时，　２的最大值为１２００ｖ￣ｃｍ　．　利用计算器计算得，１２００、／／３≈２０７８．５，显　然，１２００、／／３＞１８００．　关于再提两种方案，这个问题具有很大的开　放性和挑战性，方案没有图形形状的规定，留给　学生较大的思考空间，可以进行丰富的想象，充　分展示几何图形的应用，这样的开放性实际问题　具有很大的趣味性和吸引力，在教学中教师引领，　学生积极投入探究活动．　①从改变角度入手　如图３，为矩形截面．则Ｙ３＝－２ｘ　＋１２０ｘ．　当　＝３０时，　３的最大值为１８００ｃｍ　．　ｌｒ‘　１‘２‘‘０‘—２‘‘‘　Ｉ‘‘ｌ　　图３　任意角度呢？一般地，如图４，在等腰梯形　ＡＢＣＤ中，ＢＥ上ＡＤ于Ｅ，设ＺＡＢＥ＝Ｑ，由　于ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝４０，所以　Ｅ＝４０ｓｉｎ　Ｑ，　ＢＥ＝４０ＣＯＳ　．截面面积　Ｙ４＝￣ＢＥ（ＡＤ＋ＢＣ）　＝２０ＣＯＳａ（８ｏ＋８０　ｓｉｎＱ）　＝１６００ＣＯＳａ＋１６００　ｓｉｎＱＣＯＳＱ．　图４　维普资讯 http://www.cqvip.com

Ｄ～２２　数学教学　２００６年第１０期　面积随角度如何变化呢？引领学生利用计算　边形无限接近于圆，其中连续ｎ边部分接近于半　器计算后，归纳得０≤　≤３０。时，ｙ随　的增加　而增加，当　＝３０。，就是方案二的情形；３０。＜　＜９０。时，Ｙ随ＯＬ的增加而减小．实际上没有超　过方案二的数值，还有什么因素在影响截面面积　大小呢？　②从改变边长入手　经过上述失败的探索，促使大家反思，寻找　正确的思考方向，发现面积最大时，方案一为正　方形的一半，方案二恰为正六边形的一半．　换作正八边形，试一试，如图５，ＡＢ为正八　边形的直径．实线部分边长为３０．截面面积Ｙ５＝　９００　ｔａｎ　６７．５。≈２１７２．８．　～Ｇ　Ｂ　图５　图６　再换作正十边形呢？如图６，ＡＢ为正十边　形的直径．实线部分边长为２４．截面面积ｙ６＝　７２０　ｔａｎ　７２。≈２２１５．９．　显然　５、　６均大于　２，符合设计的要求．　猜想：周长一定的礼边开口水槽，当其为正２礼　边形被直径截得的Ｕ型部分时，截面面积最大．　而且随ｎ的增加，最大值会越来越大．　你能证明吗？根据相等面积变换转化为特殊　情形：周长一定的ｎ边开口水槽，当其为正２礼边　形被经过顶点的直径截得的Ｕ型部分时，截面面　积最大．而且随ｎ的增加，最大值会越来越大．　如图７，在正２礼边形中，过（＝）作（＝）　上ＡＢ　于　，则　（＝）Ｂ：一１８０￣，￣ＯＡＢ：９０。一　．　设Ｕ型截面周长为ａ．　１７＝礼×　×　Ｂ×（＝）　＝礼×　×　×　ａ　ｔａｎ（９。ｏ—　９０￣）＝　ａ２　ｃｏｔ　９０￣．　Ｄ　Ａ　ｃ　Ｂ　图７　引领学生利用计算器计算后，归纳得：面积Ｙ　随边数ｎ的增加而增加．当ｎ无限增加时，正２礼　圆，因此，截面为半圆时，面积最大．当ａ＝１２０　时，　７的最大值为—７２００—．　教师课后探究，最大面积　，．　ａ　．９０。　Ｙ　∞　ｎ２　丌　丌　ｎ２　，．　．∞　‘　⑨拓展探索如果是奇数边正多边形又如　何呢？先从特例开始：　如图８，０为正五边形的中心，ＯＣ上ＡＢ于　Ｃ，ＺＡＯＣ＝３６。，ＡＢ＝４０，ＯＣ＝２０ｃｏｔ　３６。，　ＯＡ　五　・根据正五边形的轴对称性，得　ＭＰ上ＢＮ于Ｐ，连续３边组成的截面为四边形　ＭＡＢＮ，则　Ｙｓ＝　四边形Ｍ　ＢＰ＋ＳＡＭＰＮ　２．５×　１＝×４０×２０　ｃｏｔ　３６。　十　×２０×（　ｃｏｔ　３６。）　＿１２００　ｃｏｔ　３６。＋　￣１９　９１．９＜　Ｓｌｎ　ｂＶ　Ａ　ｃ　Ｂ　图８　图９　如图９，（＝）为正七边形的中心，０Ｃ上ＡＢ于　Ｃ，ＺＡＯＣ：　，　Ｂ：３０，　ＯＣ＿１５　ｃｏｔ　，ＯＡ＝　．类　ＳｌＩｌ一　７　似地，连续４边组成的截面面积为Ｙ９＝９００×　ｃ。ｔｃｏ　丁　＋　１　≈２ｌ２８・≈２１２８－２＞Ｙ２．２＞’　Ｈ　丁　如图１０．在正九边形中，类似可得，连续５边　组成的截面面积为Ｙ１。　７２０ｃｏｔ　２０。＋Ｉｓｉ　≈２１８８．　７＞Ｙ２．　主０。　、、，　、，、、，　，　、　，／　＼　图１０　任意奇数边正ｎ边形呢？经探究，在奇数边　维普资讯 http://www.cqvip.com

２００６年第１０期　数学敦学　１ｏ一２３　由一个例题到圆锥曲线“相交弦定理＂的探索　３１１８００浙江省诸暨市轻工技校寿玲玉３１１８１６浙江省诸暨市综合高中楼可飞　例已知抛物线ｙ　＝４ｘ￣［＇－点Ｐ（　，１）．　Ａ　…　．　（１）过点Ｐ的直线ｆ与抛物线交于　、Ｂ两　Ａ　点，若点Ｐ刚好为弦ＡＢ的中点．　（Ｉ）求直线２的方程；　（ＩＩ）若过线段　Ｂ上任一点Ｐ１（不含端点　、　Ｂ）作倾斜角为７ｒ—ａｒｃｔａｎ２的直线ｌｌ交于　１、　Ｂ　Ｂ１两点，求证：Ｉ　Ｐ１ＡＩ・Ｉ　Ｐ１ＢＩ＝Ｉ　Ｐ１Ａ１Ｉ・Ｉ　Ｐ１Ｂ１Ｉ．　分析：（Ｉ）Ｙ＝２ｘ一４；　日，　０／　　＼　Ｂ　（ＩＩ）设点Ｐ１（Ｘ０，２Ｘｏ一４），得直线ｌｌ：Ｙ一　图１　（２Ｘｏ－－４）＝－２（ｚ—　０），把Ｙ　＝４ｘ即Ｘ－－　代入方　Ｉ　Ｉ・Ｉ　ＢｉＩ　程，消去　得ｙ２＋２ｙ－８ｘｏ＋８＝Ｏ．设Ａ１（Ｘｌ，ｙ１）、　＝【Ｙｌ一（２Ｘｏ一４）】・【（２Ｘｏ一４）一　】　Ｂ１（Ｘ２，ｙ２），则由韦达定理得　１＋Ｙ２＝－２，ＹｌＹ２　＝一［Ｙ￣Ｙ２一（２Ｘｏ一４）（　１＋Ｙ２）＋（２Ｘｏ－４）　】　＝－８Ｘｏ＋８．设直线ｆ１上的三点　１、Ｐ１、Ｂ１在　＝一（４　３—２０Ｘｏ＋１６）．　轴上的射影分别为　、　、Ｂ　，则　设直线ｆ上的三点　（　１，ｙ１）、Ｐ１、Ｂ（ｘ２，Ｙ２）　正礼边形中，连续　边组成的ｕ型截面周长　思考：①上述结论与“周长一定，凸ｎ边形面　积为　＝　×　１×　２ａ×　ａ　ｃｏｔ　＋　积＜正ｎ边形面积＜圆面积”的结论有什么区别　和联系呢？②还有其它符合条件的截面图形吗？　三×　（＼　＿　＋儿　　ｃｏｔ　）＿／　　体会与反思　１．“探索是数学的生命线”，利用计算器、计　算机进行探索，将思维引向深入，让学生经历了　ａ２　１８０￣－ｖｖ　　ａ２而∞　＋　１８０￣　传统教学不能到达的境界．　２．“让学生经历观察、实验、类比、归纳、猜　引导学生利用计算器计算后，归纳得：面积Ｙ　想、证明等数学活动过程，发展学生的合情推理　能力和初步的演绎推理能力”．经历从特殊到一　随边数ｎ的增加而增加．当ｎ无限增加时，正ｎ　般再到特殊认识事物的过程，体验科学探索方法．　边形无限接近于圆，其中连续　边部分接近　３．问题的解决方案往往不止一种，在探索的　半圆，所以，截面为半圆时，面积最大．　过程中，有时也并非一帆风顺，甚至会遭遇挫折　教师课后探究，Ｙ的最大值为　和失败，但重要的是通过分析原因，不断修正和　转化，让学生的思维突破障碍，体会成功后的快　ｌ　１８０￣＋　ａ２　Ｊ　乐，从中获得宝贵的经验、教训，体验科学探索　精神．提高学生分析问题、解决问题的能力，提　高学生创新思维能力和实践操作能力，为学生将　来进行研究性学习奠定一定基础．