让优秀成为一种习惯
小升初数学培优讲义
第7讲数论专题（一）
整除、带余除法
知识梳理
具有整除的数的特点：
（1）被2整除：末位数字能被2整除的数必能被
2整除，即末位数字是
0、2、4、8的数能被2整除.
（2）被4整除：末位两位数字组成的两位数能被4整除，则该数必能被4整除. （3）被8整除：末三位数字组成的三位数能被8整除，则该数必能被
8整数.
（4）被3整除：各位数字之和能被3整除，则该数能被3整除. （5）被5整除：末位数字是0或5的数必能被5整除.
（6）被9整除：各位数字之和能被9整除，则该数能被
9整除.
（7）被7、11或13整除：末三位数字与末三位以前的数字的差（以大减小）能被
11或13整除，那么这个数必能7、11或13整除.
（8）被11整除：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（以大减小）能被
11整除，那么这个数必能被
11整除.
课前热身
1. 在下面各组数中，哪一组的第一个数能被第二个数整除.（
）
A.26和13 B.35和17 C.210和4
D.5.6和8
2. 一个三位数，它的各位数字之和是
8，它能被5整除，写出符合条件的三位数
.
3. 有一个四位数能
3AA1能被9整除，求A的值.
4. 2011年“五·一劳动节”是星期天，2012年的“五·一劳动节”是星期几？
5. 能被2、3、5除都余1，且不等于1的最小整数是多少？
1
6、
7、
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典例精析
类型一：数的整除性问题
【例1】（1）在（）内填上一个合适的数字，使下面的数能被
3整除.
A. 8（）4597 B.（
）8（
）
C. 7（）82
D. 4509（
）7
（2）在（）内填上合适的数，使下面的数能被25整除.
A. 1000（）B. 17（）（）C. 257（
）
D. 4（
）5（
）
【变式1.1】判断下列各数，哪些能被4整除，并说明理由
.
252
1724
2512
42000
8256
【变式1.2】从1到3998这3998个正整数中，有多少个数能被4整除？
类型二：整除性特征问题
【例2】六位数865abc能被3、4、5整除，要使这六位数尽可能小，求
2
a,b,c的值.
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【变式2.1】某个七位数2973abc能同时被5、8、9整除，那么它的最后三位数a,b,c
分别是多少？
【变式2.2】五位数538xy能同时被3、7、11整除，则
x
2
y
2
__________.
类型三：同余问题中求被除数问题
【例3】一个大于1的整数，除300、262、205，得到相同的余数，这个整数是多少？
【变式3.1】有一个大于1的整数，它除381、210、286的余数相同，这个整数是多少？
【变式3.2】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合此条件的最小自然数3
.
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类型四：同余问题中求余数问题
【例4】两个数被13除分别余7和10，这两个数的和被
13除余几？
【变式4.1】自然数A除以5余2，自然数B除以5余3，那么A和B的和除以【变式4.2】如果两个数被3除都余2，那么他们的积被3除，余数是多少？
类型五：求被除数问题
【例6】一个两位数除
253，得到的余数是
43，求这个两位数.
4
5余几？
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【变式6】小平在一次除法计算中，把被除数271错写成217，结果商少了3而余数恰
好不变，这题中的除数是多少？
课后练习
A. 夯实基础
1. 在（）内填上合适的一个数字，使得下面的数能被9整除.
A．222（）B．5（
）（
）44 C．4（
）18（
）7
D．6212（
）1
2. 有一个数为102030405060708090，请问这个数能被
9整除吗？
3. 已知整数1x2x3x4x5x能被11整除，求x值.
B. 能力拓展
4. 一个六位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首尾两个数字，那么这样的六位数
剩下的四位数为1997，这个六位数是多少？
5
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5. 某个七位数1993（）（最后的三位数字依次是什么？
）（）能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的
6. 两个自然数被7除分别余2和4，则求这两个数的和除以7余几？
7. 69，90和125被某个大于1的正整数N除时，余数相同，试求N的值.
C. 综合创新
8. 将分别写有数码1、2、3、4、5、6、7、8、9的九张卡片排成一排，发现恰是能被
除的最大的九位数，试求这个数.
11整
9. 一个正整数除以整数是多少？
5、7、9及11的余数依次是1、2、3、4，请问满足上述条件的最小的正
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