斐波那契数列第n项公式

斐波纳契数列是数学中最迷人的东西之一。它们在几乎所有数学家的心中都占有特殊的地位。纵观历史，人们围绕这些数列做了很多研究，结果发现了很多有趣的事实。 让我们看看他们是什么样子

这个数列中的任何数都是前两个数的和，这个模式在数学上可以写成

其中n是一个大于1的正整数，F(n)是第n个斐波纳契数F(0)= 0和F(1)= 1。

现在，该表达式相当容易理解，并且通过插入所需的n值足以产生任何斐波那契数。如果有的话，唯一的缺点是，如果我们想知道序列中的一个特定数字F(n)，我们需要在它之前的两个数字F(n-1)和F(n-2)，这就是这个公式的原理。但如果我们需要一个F(n)更靠前的数字，我们将不得不进行大量的“反向”计算，这很乏味。

在本文中，我们将讨论另一个公式来获得序列中的任何斐波那契数。 公式

我们定义一个函数F(x)它可以像这样展开成幂级数

这里，根据定义，我们省略了F(0)，因为F(0)=0。

（有关该系列的收敛性和唯一性的问题不在本文讨论范围之内） 我们的任务是找到一个函数的明确形式，以使F (x)的系数F(n)是斐波纳契数列。

为了利用这个函数，我们首先要重新整理原来的公式。如果我们更换

原来的公式变成

很容易检查这个修改是否仍然生成相同的数字序列，从n=1开始，而不是从n=0开始。

接下来，我们将最后一个方程乘以x^n得到

对n求和得到

我们先来考虑方程的左边

现在，我们试着用F(x)来表示这个展开式，通过以下简单的操作- 然后除以x得到

加减xF(1)得到

根据F(x)的定义，这个表达式现在可以写成

因此，利用F（1）= 1 的事实，我们可以将整个左侧写为

现在考虑右边

如果我们展开这两项，我们得到

我们已经再次省略F(0)，因为F(0)= 0。

通过从第二次展开式中提出一个因子x，我们得到

根据F(x)的定义，它最终可以写成

因此，通过等式左边和右边，原来的公式可以写成F(x)的形式，

现在让我们进一步简化这个表达式。分母是一个二次方程，它的根很容易求出来

利用这些根，可以把分母写成

这样我们就可以写了

我们可以把分母分开，写成这样

在我们继续之前，我们需要了解一个关于几何级数的有用事实。如果我们有一个无穷级数

当|ax| < 1时，其和为

这意味着，如果一个无穷几何级数的和是有限的，我们总是可以得到以下等式-

利用这个思想，我们可以把F(x)写成

1 /√5的因素是由于α和β的替换。

回顾F(x)的原始定义，我们最终可以写出下面的等式

通过比较两边的第n-个项，我们得到了一个不错的结果

与

(α本身也是一个非常有趣的对象。它被称为“黄金比例”，值得单独写一篇文章。