2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
x
1．已知集合 A={ x| x<1} ，B={x| 3 A． A B { x | x 0}
1
} ，则
C． A B { x | x 1}
D． A B
B． A B R
2．如图，正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图 . 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
形的中心成中心对称 . 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
1
A．
4
π B．
8
1 C．
2
π
D．
4
3．设有下面四个命题
p ：若复数 z 满足
1
1
R ，则 z R ； z
2
p2 ：若复数 z 满足 z
R ，则 z R ；
p ：若复数 z1 ,z2 满足 z z
3
1 2
R ，则 z
1
z ；
2
p ：若复数 z R ，则 z R .
4
其中的真命题为
A． p1, p3
B． p1, p4
项和．若 a4
C． p2, p3 D． p2 , p4
4．记 S 为等差数列 { an} 的前 n
n
a5 24， S6
C．4
48，则 {an} 的公差为
D．8
A．1
5．函数 f (x) 在( 围是 A．[ 2, 2]
6．
B．2
, ) 单调递减，且为奇函数．若 f (1) 1，则满足 1 f (x 2) 1的 x的取值范
B．[ 1,1] C．[0, 4] D．[1,3]
1
6
2
x 的系数为
(1
2
)(1 x) x
展开式中
A．15 B．20 C．30 D．35
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长
为 2，俯视图为等腰直角三角形
. 该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
...
...
A．10 B．12 C．14 D．16
和
两个空白框中， 可以分别填入
8．右面程序框图是为了求出满足 3
n- 2n>1000 的最小偶数 n，那么在
A．A>1 000 和 n=n+1 B．A>1 000 和 n=n+2 C．A 1 000 和 n=n+1 D．A 1 000 和 n=n+2
2π 9．已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2 x+ ) ，则下面结论正确的是
3
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的
2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
π
个单位长度，得 6
到曲线 C2
B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的
2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π
个单位长度，
12
得到曲线 C2
C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的
1
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
2
π
个单位长度，得
6
到曲线 C2
D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的
1
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
2
π
个单位长度，
12
得到曲线 C2
2
10．已知 F为抛物线 C：y =4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线
直线 l 2 与 C交于 D、E两点，则 | AB|+| DE| 的最小值为 A．16
x
l 1，l 2，直线 l 1 与 C交于 A、B两点，
B．14
y
C．12
z
D．10
11．设 xyz 为正数，且 2
A．2x<3y<5z
3
5
，则
C．3y<5z<2x
D．3y<2x<5z
B．5z<2x<3y
12．几位大学生响应国家的创业号召，
...
开发了一款应用软件。 为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了“解
...
数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案： 4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯ ，其中第一项是 0，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 2 0，21，22 ，依此类推。求满足如下条件的最小整数 款软件的激活码是 A．440 二、填空题：本题共
B．330
C． 220
2
已知数列 1，1，2，1，2，
N：N>100且该数列的前N项和为 2 的整数幂。那么该
D．110
4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知向量 a， b 的夹角为 60°， | a|=2 ，| b|=1 ，则| a +2 b |= .
x 2y 1
14．设x，y 满足约束条件
2x y 1，则z 3x 2y 的最小值为 .
x y 0
15．已知双曲线 C： x
2
2 2
y
2
1（a>0，b>0）的右顶点为 A，以 A为圆心， b 为半径做圆 A，圆 A与双曲线
a b
C的一条渐近线交于M、N两点。若∠ MAN=60°，则C的离心率为 ________。
16．如图，圆形纸片的圆心为
O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O。D、E、F 为圆 O
上的点，△ DBC，△ ECA，△ FAB分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以
BC，CA， AB为折痕折起△ DBC，△ ECA，△ FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当△
化时，所得三棱锥体积（单 ：位
cm
3
ABC的边长变
）的最大值为 _______。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
17~21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第 （一）必考题：共
60 分。
2
17．（12 分）△ ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知△ ABC的面积为
a A
3sin
（1）求 sin Bsin C;
（2）若 6cosBcos C=1，a=3，求△ ABC的周长. 18. （ 12 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD中， AB//CD，且
BAP CDP 90 .
...
...
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC， APD 19．（12 分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16 个零件，并测量
90 ，求二面角 A- PB-C的余弦值 .
其尺寸（单位： cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分 布
2
N( ,
) ．
X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 (
（1）假设生产状态正常，记
3 , 3 ) 之外的零件
数，求 P( X 1)及 X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的
16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96
9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
16
16
16
经计算得
1
1
1
2
2
2 2
x
x
，
9.97 s
x
x x x ，其中
xi 为抽取 (
)
(
16 )
0.212
i
i
i
16
16
16
i 1
i 1
i 1
的第 i 个零件的尺寸， i 1, 2, ,16 ．
用样本平均数 x 作为
的估计值 ?，用样本标准差
s作为 的估计值 ?，利用估计值判断是否需对
当天的生产过程进行检查？剔除
( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的数据， 用剩下的数据估计
和 （精确到 0.01 ）．附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(
,
2
) ，则 P(
3 Z 3 ) 0.997 4 ，
16
0.997 4
0.959 2 ， 0.008 0.09
．
20. （12 分）
2
2
已知椭圆 C： x
y
3 ），P
3 4（1， ）中恰有 2
2
=1（a>b>0），四点 P1（1,1 ），P2（0,1 ），P3（–1， 2
2
a
b
三点在椭圆 C上. （1）求 C的方程；
（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C相交于 A，B两点。若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为– 1，证明：过定点 . 21. （12 分）
已知函数 （f x) ae
2x+( a﹣2) e
x
﹣x.
...
l
...
2x+( a﹣2) e
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围 .
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
...
...
22．[ 选修4―4：坐标系与参数方程
] （10 分）
3cos , x
（θ 为参数），直线l 的参数方程为
y sin ,
在直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为 x a 4t ,
（t为参数）.
y 1 t,
（1）若 a=- 1，求 C与 l 的交点坐标； （2）若 C上的点到 l 的距离的最大值为 23．[ 选修4— 5：不等式选讲] （10 分）
已知函数 f （ x）=– x
2
17 ，求 a.
+ax+4，g( x)=│x+1│+│ x– 1│.
（ 1）当 a=1 时，求不等式 f （ x）≥ g（x）的解集；
（ 2）若不等式 f （x）≥ g（x）的解集包含 [ – 1，1] ，求 a 的取值范围.
...
...
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。 19. A 7．B
2．B 8．D
3．B 9．D
4．C 10．A
5．D 11．D
6．C 12．A
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． 2
3
14．-5 15．
2 3
16．
3
3
15cm
17~21 题为必考题，每个试题考
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。
a 17．（12 分）△ ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知△ ABC的面积为 3sin
A
（1）求 sin Bsin C;
（2）若 6cosBcos C=1，a=3，求△ ABC的周长 . 解：（1）
2
由题意可得
S
ABC 2
1
bc sin A 2
2
， a A
2
3sin
化简可得
2a 3bc sin A ，
2
2
根据正弦定理化简可得：
2
sin B sinC
。
2sin A 3sin B sinCsin A
3
（2）
由
2
1
cos A B
sin B sinC cos B cosC
2
A
3 2
sin B sinC
，
3
cos A cos B cosC 1 6
B C ， 因此可得
3
将之代入
2
中可得：
sin B sinC
sin
3
C sin C
3
sin C cos C 2
1
2
3
化简可得
sin C 0 ， 2
3
C 3
,B ， 6 6
tan C
...
...
利用正弦定理可得
sin a b
sin A
B
3 1
， 3
3 2
2
同理可得 c
3，
3 2 3 。
故而三角形的周长为 20. （12 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD中，AB//CD，且 BAP CDP 90 .
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC， APD （1）证明：
90 ，求二面角 A- PB-C的余弦值 .
AB / /CD , CD
又 AB
PD PD
AB PD ,
PA, PA P , PA、PD都在平面 PAD内，
故而可得 AB PAD 。
又 AB在平面 PAB内，故而平面 PAB⊥平面 PAD。 （2）解：
不妨设 PA
PD AB CD 2a ，
以 AD中点 O为原点， OA为 x 轴，OP为 z 轴建立平面直角坐标系。 故而可得各点坐标： P 0,0, 2a , A 因此可得 PA
2a,0,0 , B 2a,2 a,
2a,2 a,0 ,C 2a,2 a,0 ，
2a ，
2a,0, 2a ,PB 2a , PC 2a,2 a,
假设平面 PAB 的法向量 n1
n PA
1
x, y,1 ，平面 PBC 的法向量 n2
2a 0
x 1
m, n,1 ， 1,0,1
故而可得
2ax
n1 ，即
y 0
，
n PB
1
2ax 2ay 2am 2an 2am 2an
2a 0 2a
0
n PC
同理可得
2
n PB
2
2a 0
m 0
，即 2 n
n 2
2
2 0, ,1 。
2
...
...
因此法向量的夹角余弦值：
1
1
2
3
。
cos n ,n
2 2 3 。 3
3
3
很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为
19．（12 分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16 个零件，并测量
其尺寸（单位： cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分 布
2
N( , ) ．
X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 (
（1）假设生产状态正常，记
3 , 3 ) 之外的零件
数，求 P( X 1)及 X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的
9.95 10.27
经计算得
16
16 个零件的尺寸： 9.96
9.96 10.02
16
10.12 9.91
10.01 9.22
9.92 10.04
16
9.98 10.05
10.04 9.95
10.13
1
1
2
1
2
2 2
x x
i
，
9.98 s
16
(x x)
i
( 16
x
i
16x ) 0.212，其中 xi 为抽取
16
i 1
i 1
i 1
的第 i 个零件的尺寸， i 1, 2, ,16 ．
用样本平均数 x 作为
的估计值 ?，用样本标准差
s作为 的估计值 ?，利用估计值判断是否需对
和 （精确到 0.01 ）．
当天的生产过程进行检查？剔除
( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的数据， 用剩下的数据估计
2
附：若随机变量 Z 服从正态分布
N
( ,
．
，则 P( 3 Z 3 ) 0.997 4 ，
)
16
0.998 4
解：（1）
0.959 2 ， 0.008 0.09
1 P X
0
16
P X 1 1 0.9974 1 0.9592 0.0408
由题意可得， X满足二项分布 X ~ B 16,0.0016 ， 因此可得 EX 16,0.0016 （2）
...
16 0.0016 0.0256
...
1 由（ ○1）可得 P X 1 0.0408 5% ，属于小概率事件， 3 ) 的零件，需要进行检查。 0.212
3
9.334,
3
10.606，
故而如果出现 ( ○2 由题意可得
3 , 9.97,
...
...
故而在 9.334,10.606 范围外存在 9.22 这一个数据，因此需要进行检查。
此时：
15
21. 16 9.22
x
15
10.02 ，
0.09 。
1 15 i
x x
1
10.28 （12 分）
2
2
3 3 已知椭圆 C： x
y
2
2
=1（a>b>0），四点 P1（1,1 ），P2（0,1 ），P
3
（–1，a
b
三点在椭圆 C上. （1）求 C的方程；
（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C相交于 A，B两点。若直线 P2A与直线过定点 . 解：（1）
根据椭圆对称性可得， P 3
1（1,1 ）P4（1，
2
）不可能同时在椭圆上，
P 3 3（–1， 2 ），P 3 4（1， 2
）一定同时在椭圆上，
因此可得椭圆经过 P 3
2（0,1 ），P3（–1，
3
2
），P4（1，
2
），
代入椭圆方程可得：
1
3
，
b 1,
1 a 2
2
a
4
故而可得椭圆的标准方程为：
2
x
2 1 4
y 。
（2）由题意可得直线 P2A与直线 P2B的斜率一定存在，
不妨设直线 P2A为： y kx 1, P2B为： y
1 k x 1.
y kx 1
联立 2
x
2
2 2
8kx 0
4
y 1
4k
1 x
， 假设 A x1, y1 ， B x2, y2 此时可得：
2
2
，
8k 1 4k
8 1 k 1 4 1 k
A
,
,B
,
2
2
2
2
4k
1 4k 1 4 1 k 1 4 1 k 1
...
2 ），P4（1， 2
2B的斜率的和为–）中恰有
1，证明：l
P
...
2 2
1 4 1 k
此时可求得直线的斜率为：
AB
2
1 4k
2
k
4k
y
4 1 k
2
1
， 1
y x
2
1
8k
2
x
1
8 1 k
2
4k
化简可得 k
AB
1
1
，此时满足 k 2
1 2k
4 1 k
1 2
。
1
○1 当 ○2 当
1
时，AB两点重合，不合题意。
k k
2
1
时，直线方程为： y 2
2
1
x
2
8k
2
1 4k ，
2
2
4k
1 2k
即 y
1 4k 1 2,
4k
4k 1 x ，当 x 2时， y
2
1 。
1 2k
x
1，因此直线恒过定点
22. （12 分）
已知函数 （f x) ae 2x+( a﹣2) e
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围 . 解：
（1）对函数进行求导可得
2x
x
x
x
﹣x.
2x+( a﹣2) e
f ' x 2ae
x
x
a 2 e 1
1 ae 1 e 1 。
○a 1 当
0 时， f ' x
ae
x
1 e
x
0恒成立，故而函数恒递减
1
x ln a ，故而可得函数在
2 当 ○a 0 时，
f ' x ae 1 e 1 0
1 上单调递 ,ln
a
减，在
1
ln , a
上单调递增。
（2）函数有两个零点，故而可得 a 0，此时函数有极小值
1
ln a a
1
1 a
，
f ln
要使得函数有两个零点，亦即极小值小于
故而可得
0，
1 a
ln a
1 0 a 0 ，令 g a
1 ln a
a
， 1
...
...
对函数进行求导即可得到
a 1
2
g' a
a 1 ln a
a
1 a
，故而函数恒递增， 0
又g 1
0， g a
，
0 a 1
因此可得函数有两个零点的范围为
0,1 。
...
...
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[ 选修4―4：坐标系与参数方程
] （10 分）
3cos , x
在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 （θ 为参数），直线 l 的参数方程为
y sin , x a 4t ,
（t为参数）.
y 1 t,
（1）若 a=- 1，求 C与 l 的交点坐标； （2）若 C上的点到 l 的距离的最大值为 解：
2
17 ，求 a.
将曲线 C 的参数方程化为直角方程为
x 9
2 1 y ，直线化为直角方程为 3
y
2
y
1
1
x 1 a 4 4
（1）当 a
1时，代入可得直线为
1
y
x ，联立曲线方程可得：
4 4
1 3
x 4 4 ，
2
x 9y 9
21 x
x 3 25 解得 或 ，故而交点为
2y 0 y 4
21 24
或 3,0 ,
25 25
25
x 3cos ,
到直线 （2）点
y y sin ,
1 1
x 1 a的距离为 d 4 4 a 4 3cos
17，
4sin
17
3cos 4sin 17
a 4
17 ，
即： 3cos 化简可得
4sin 17
a 4
a 4 ，
根据辅助角公式可得 又 5 5sin
13 a 5sin 5 ，解得 a
21 a ，
8 或者 a 16 。
23．[ 选修4— 5：不等式选讲] （10 分）
2
已知函数 f （ x）=– x +ax+4，g( x)=│x+1│+│ x– 1│. （ 1）当 a=1 时，求不等式 f （ x）≥ g（x）的解集；
（ 2）若不等式 f （x）≥ g（x）的解集包含 [ – 1，1] ，求 a 的取值范围. 解：
2x
将函数 g x
...
x 1 1 x 1
x 1 x 1 化简可得 g x 2
...
2x x 1
...
...
（1） 当 a
1时，作出函数图像可得
y
f x g x 的范围在 F 和 G点中间，
17 1
。 1,
2
联立
2x
2
x 4
可得点
y x
G
17 1
, 17 1 ，因此可得解集为 2
（2） 即 f x
g x 在 1,1 内恒成立，故而可得
2
4 2 ax
2
2
ax 恒成立，
x x
1 a 1 。
根据图像可得：函数 y
ax 必须在 l1,l2 之间，故而可得
...
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