挖命题 【考情探究】
5年考情
预测热
考点
内容解读
考题示例
考向 关联考点 1.理解平面向量数量积的
平面向量的模的
平面向量的模的最
2018浙江,9
含义及其物理意义. 求法
值
2.掌握向量夹角概念及其
平面向量的数量积
平面向量的数量
范围,掌握向量长度的表2017浙江,10
的
积的计算
示.
大小比较 平面向
3.了解平面向量的数量积
平面向量的数量
平面向量的数量
量的数
2016浙江,15
与向量投影的关系.
积的计算
积的最大值
量 积
4.掌握平面向量的数量积
平面向量的模的
2015浙江文,13
数量积的计算
的坐标表达式,会进行平面求法 向量的数量积的运算.
平面向量的模的
5.理解平面向量的数量积2014浙江,8
向量模的大小比较
求法
的性质,并能灵活运用. 1.会运用数量积解决两向
平面向量的模、夹平面向量的模的最
2018浙江,9
量的夹角问题和长度问题.
角
值
向量的2.会用数量积判断两个向2017浙江,15
综合应量的平行与垂直关系.
平面向量的模的
用
3.会用向量方法解决某些
2016浙江,15,文15
求法
简单的平面几何问题、力学问题以及一些实际问题.
分析解读 1.向量的数量积是高考命题的热点,主要有以下几个方面:(1)平面向量的运算、化简、证明及其几何意义;(2)平面向量垂直的充要条件及其应用;(3)平面向量的综合应用,向量的坐标是代数与几何联系的桥梁,它融数、形于一体,具有代数形式和几何形式的双重身份,是中学数学知识的重要交汇点,常与平面几何、解析几何、三角函数等内容交叉渗透. 2.预计2020年高考试题中,向量的数量积仍是高考的热点,应高度重视.
1
度 ★★
★
★★
★
破考点 【考点集训】
考点一 平面向量的数量积
1.(2018浙江温州二模(3月),9)已知向量a,b满足|a|=1,且对任意实数x,y,|a-xb|的最小
值为,|b-ya|的最小值为,则|a+b|=( ) A.
B.
或
C.或 D.答案 C
2.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三)已知向量a=(cosA,-sinA),b=其中A为△ABC的最小内角,且a·b=-,则角A等于 ( ) A. B. C. D.或答案 C
考点二 向量的综合应用
1.(2018浙江名校协作体期初,12)在△ABC中,AB=3,BC=,AC=2,且O是△ABC的外心,则·
= ,
·
= .
22
,
答案 2;-
2.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,16)已知正三角形ABC的边长为4,O是平面ABC上的动点,且∠AOB=,则
·
的最大值为 .
答案
炼技法 【方法集训】
方法1 利用数量积求长度和夹角的方法
1.(2017浙江镇海中学模拟卷三,13)已知向量a,b满足|a-b|=1且|a|=2|b|,则a·b的最小值为 ,此时a与b的夹角是 .
2
答案 -;π
2.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,16)若向量a,b满足a+a·b+b=1,则|a+b|的最大值为 .
2
2
答案
方法2 利用向量解决几何问题的方法
1.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),9)已知点P在边长为2的正方形ABCD的边上,点M在以P为圆心,1为半径的圆上运动,则A.2 B.1+ C.1+2 D.2+2 答案 C
2.(2018浙江杭州二中期中,16)在半径为1的扇形AOB中,∠AOB=60°,C为弧AB上的动点,AB与OC交于点P,则
·
的最小值是 .
·
的最大值是( )
答案 -
过专题 【五年高考】
A组 自主命题·浙江卷题组
考点一 平面向量的数量积
1.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=
·
,I2=
·
,I3=
·
,则( )
A.I1 3 B.I1 B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a+b|,|a-b|}≤|a|+|b| D.max{|a+b|,|a-b|}≥|a|+|b| 答案 D 3.(2016浙江文,15,4分)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是 . 答案 2 2 2 2 2 2 2 2 4.(2015浙江文,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=,若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|= . 答案 考点二 向量的综合应用 1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是( ) A.-1 B.+1 C.2 D.2- 答案 A 2.(2017浙江,15,6分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 . 答案 4;2 3.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,则a·b的最大值是 . 答案 B组 统一命题、省(区、市)卷题组 考点一 平面向量的数量积 1.(2018课标全国Ⅱ理,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0 答案 B 4 2 2.(2017课标全国Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(A.-2 + )的最小值是( ) B.- C.- D.-1 答案 B 3.(2016课标全国Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 答案 D 4.(2018北京文,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m= . 答案 -1 5.(2017课标全国Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= . 答案 2 6.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值. 解析 (1)因为m⊥n,所以m·n=sin x-cos x=0. 即sin x=cos x,又x∈,所以tan x= =1. (2)易求得|m|=1,|n|==1. 因为m与n的夹角为, 所以cos==, 则sin x-cos x=sin=. 5 又因为x∈,所以x-∈. 所以x-=,解得x=. 考点二 向量的综合应用 1.(2018北京理,6,5分)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 2.(2018天津文,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°, =2 , =2 ,则 · 的值为( ) A.-15 B.-9 答案 C 3.(2018天津理,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则 · 的最小值为( ) C.-6 D.0 A. B. C. D.3 答案 A 4.(2016四川,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足| |=| |=| |, · = · = · =-2,动点P,M满足| |=1, = ,则| |的最 2 大值是( ) A. B. 6 C. D. 答案 B 5.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量夹角为α,且tan α=7, 与 的夹角为45°.若 =m, ,+n 的模分别为1,1,, 与 的 (m,n∈R),则m+n= . 答案 3 6.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β= . 答案 C组 教师专用题组 考点一 平面向量的数量积 1.(2016北京,4,5分)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 D 2.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则 · 的值为( ) A.- B. C. D. 答案 B 3.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos C. D.- 7 4.(2015福建,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且 =A.13 +,则B.15 ·的最大值等于( ) D.21 C.19 答案 A 5.(2015山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则A.- a B.- a C. a 答案 D 6.(2015安徽,8,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足则下列结论正确的是( ) A.|b|=1 B.a⊥b C.a·b=1 答案 D D.(4a+b)⊥ =2a, =2a+b, 2 2 2 ·=( ) D. a 2 7.(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|=为 ( ) A. B. C.答案 A D.π |b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角 8.(2014大纲全国,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( ) A.2 B. C.1 D.答案 B 9.(2014四川,7,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案 D 10.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若 ·=1,·=-,则λ+μ=( ) 8 A. B. C. D. 答案 C 11.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=A.1 B.2 C.3 D.5 答案 A 12.(2017课标全国Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m= . 答案 2 13.(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x+y=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为 . 答案 6 14.(2017山东理,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是 . 2 2 ,|a-b|=,则a·b=( ) · 答案 2 2 2 15.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|=|a|+|b|,则m= . 答案 -2 16.(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点, · =4, · =-1,则 · 的值是 . 答案 17.(2015湖北,11,5分)已知向量答案 9 18.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且 =λ , = ,则 · 的最小值为 . ⊥ ,| |=3,则 · = . 9 答案 =3 , · =2,则 19.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,· 的值是 . 答案 22 20.(2014安徽,15,5分)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①S有5个不同的值;②若a⊥b,则Smin与|a|无关; ③若a∥b,则Smin与|b|无关;④若|b|>4|a|,则Smin>0; ⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a|,则a与b的夹角为. 答案 ②④ 考点二 向量的综合应用 2 1.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量A.30° B.45° C.60° D.120° 答案 A =,=,则∠ABC=( ) 2.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x+y=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则| + + |的最大值为( ) 22 A.6 B.7 C.8 D.9 答案 B 3.(2017课标全国Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= . 答案 7 10 4.(2015江苏,14,5分)设向量ak=cos的值为 . 答案 9 ,sin+cos(k=0,1,2,…,12),则(ak·ak+1) 【三年模拟】 一、选择题(每小题4分,共24分) 1.(2019届浙江温州普通高中适应性测试,9)已知向量a,b满足|a|=2,a+2a·b+2b=8,则a·b的取值范围是( ) A.[2-2,2+2] B.[-2-2,2-2] C.[-1,+1] 答案 B 2.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,8)如图,△OA1B1,△A1A2B2,△A2A3B3是边长相等的等边三角形,且O,A1,A2,A3四点共线.若点P1,P2,P3分别是边A1B1,A2B2,A3B3上的动点(不含端点),记I1= · ,I2= · ,I3= · ,则( ) D.[--1,-1] 2 2 A.I1>I2>I3 C.I2>I1>I3 答案 B 3.(2018浙江嵊州第一学期期末质检,10)如图,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=2,该矩形所在的平面内一点P满足| |=1,记I1= · ,I2= · ,I3= · ,则( ) B.I2>I3>I1 D.I3>I1>I2 A.存在点P,使得I1=I2 B.存在点P,使得I1=I3 C.对任意的点P,有I2>I1 11 D.对任意的点P,有I3>I1 答案 C 4.(2018浙江台州第一学期期末质检,9)已知m,n是两个非零向量,且|m|=1,|m+2n|=3,则|m+n|+|n|的最大值为( ) A. B. C.4 D.5 答案 B 5.(2018浙江台州第一次调考(4月),9)已知单位向量e1,e2,且e1·e2=-,若向量a满足(a-e1)·(a-e2)=,则|a|的取值范围为( ) A. B. C. D. 答案 B 6.(2018浙江杭州第二次教学质量检测(4月),9)记 M 的最大值和最小值分别为 Mmax 和 Mmin.若平面向量a,b,c 满足|a|=|b|=a·b=c·(a+2b-2c)=2,则( ) A.|a-c|max= B.|a+c|max= C.|a-c|min=答案 A D.|a+c|min= 二、填空题(单空题4分,多空题6分,共16分) 7.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,16)已知向量a,b满足|a|=2|b|,|a-b|=2,则a·b的取值范围为 . 答案 8.(2019届台州中学第一次模拟,14)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为,则a与a-2b的夹角为 . 答案 9.(2019届镇海中学期中,15)已知两个不共线的非零向量a,b满足|a|=2,|a-b|=1,则向量a,b的夹角的最大值是 . 12 答案 30° 10.(2018浙江金华十校第一学期期末调研,17)已知平面向量a,b,c满足|a|≤1,|b|≤1,|2c-(a+b)|≤|a-b|,则|c|的最大值为 . 答案 13 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容