贵德县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

贵德县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若复数z满足

=i，其中i为虚数单位，则z=（ ）

D．﹣1+i

A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i

2． 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺， 末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ） A．33% B．49% C．62% D．88% 3． 袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）

A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球 C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；红、黑球各一个 4． 由直线

与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）

A B1 CD

B．3

x5． 设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a，b，α，β均为非零的常数，f（1988）=3，则f（2008）的值为（ ） A．1

C．5

D．不确定

6． 函数fxalogax1有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）

A．1,10 B．1, C．0,1 D．10, 7． 由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于﹣1，则样本1，x1，﹣x2，x3，﹣x4，x5的中位数为（ ） A．

B．

C．

D．

8． 已知幂函数y=f（x）的图象过点（，A．

B．﹣

C．2

D．﹣2

），则f（2）的值为（ ）

第 1 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

9． 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）

A． B． C． D．6

10．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A．

B．y=x2 C．y=﹣x|x| D．y=x﹣2

11．设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ） A．p或q

B．p且q

C．￢p或q

12．函数yx2-2x1，x[0,3]的值域为（ ） A. B. C. D.

D．p且￢q

二、填空题

13． 设函数f(x)ex，g(x)lnxm．有下列四个命题：

①若对任意x[1,2]，关于x的不等式f(x)g(x)恒成立，则me；

2②若存在x0[1,2]，使得不等式f(x0)g(x0)成立，则meln2；

③若对任意x1[1,2]及任意x2[1,2]，不等式f(x1)g(x2)恒成立，则meln2； 2④若对任意x1[1,2]，存在x2[1,2]，使得不等式f(x1)g(x2)成立，则me． 其中所有正确结论的序号为 .

【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.

14．函数fxxex在点1,f1处的切线的斜率是 . 15．在数列

中，则实数a= ，b= ．

16．在平面直角坐标系中，a(1,1)，b(1,2)，记(,)M|OMab，其中O为坐标原点，给出结论如下：

①若(1,4)(,)，则1；

②对平面任意一点M，都存在,使得M(,)； ③若1，则(,)表示一条直线；

第 2 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

④(1,)(,2)(1,5)；

⑤若0，0，且2，则(,)表示的一条线段且长度为22． 其中所有正确结论的序号是 ． 17．已知正整数m的3次幂有如下分解规律：

131；2335；337911；4313151719；… 若m3(mN)的分解中最小的数为91，则m的值为 . 【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度中等.

18．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件；

②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；

④动圆P过定点A（﹣2，0），且在定圆B：（x﹣2）2+y2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹为一个椭圆．

三、解答题

19．已知P（m，n）是函授f（x）=ex﹣1图象上任一于点

（Ⅰ）若点P关于直线y=x﹣1的对称点为Q（x，y），求Q点坐标满足的函数关系式 （Ⅱ）已知点M（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=y=h（x）图象上时，公式变为

=|s﹣ex﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）|，（s∈R，t＞0）的最小值．

20．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． （Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；

，当点M在函数

，请参考该公式求出函数ω（s，t）

（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

第 3 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

21．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名

观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：

9 10 11 12 13 14 场数 人数 10 18 22 25 20 5 将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．

（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？

非歌迷 歌迷 合计 男 女 合计 （Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

0.01 P（K2≥k） 0.05 k 2

附：K=

3.841 6.635 ．

第 4 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

22．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6， （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{

23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°． （1）求证：PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离．

}的前n项和．

24．设椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．

第 5 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

（1）求椭圆C的方程；

（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．

第 6 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

贵德县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：可得z=1﹣i． 故选：A．

2． 【答案】B 【

解

析

】

=i，则=i（1﹣i）=1+i，

3． 【答案】D

【解析】解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有： 2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况， 所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥； 至少有一个白球，至少有一个红球不互斥； 至少有一个白球，没有白球互斥且对立； 故选：D

至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件， 【点评】本题考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题．

4． 【答案】D

【解析】由定积分知识可得，故选D。

5． 【答案】B

【解析】解：∵f（1988）=asin（1988π+α）+bcos（1998π+β）+4=asinα+bcosβ+4=3， ∴asinα+bcosβ=﹣1，

第 7 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

故f（2008）=asin（2008π+α）+bcos（2008π+β）+4=asinα+bcosβ+4=﹣1+4=3， 故选：B．

【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于中档题．

6． 【答案】B 【解析】

x

1试题分析：函数fx有两个零点等价于y与ylogax的图象有两个交点，当0a1时同一坐标

a系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当a1时同一坐标系中做出两函数图象如图

（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.

y22y11-3-2-1-1O123x-4-3-2-1-1O1234x-2-2

（1） （2）

考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.

【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方法：函数yfx零点个数就是方程fx0根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周程yfx零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数ygx,yhx的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为ya,ygx的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③.

7． 【答案】C

【解析】解：因为x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜﹣1，题目中数据共有六个，排序后为x1＜x3＜x5＜1＜﹣x4＜﹣x2，

故中位数是按从小到大排列后第三，第四两个数的平均数作为中位数， 故这组数据的中位数是（x5+1）． 故选：C．

第 8 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

【点评】注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．

8． 【答案】A

【解析】解：设幂函数y=f（x）=x，把点（，

α

）代入可得=

α

，

∴α=，即f（x）=故f（2）=

=

，

，

故选：A．

9． 【答案】B

【解析】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是设底面边长为a，则故三棱柱体积故选B

，∴a=6，

．

，

【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．

10．【答案】D 【解析】解：函数

为非奇非偶函数，不满足条件；

函数y=x2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件； 函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；

函数y=x﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件； 故选：D

【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．

11．【答案】 C

【解析】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中

命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，

第 9 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确； 命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β， 直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l， 故选C．

显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；

【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．

12．【答案】A 【解析】

2试题分析：函数yx2x1x12在区间0,1上递减，在区间1,3上递增，所以当x=1时，

2

fxminf12，当x=3时，fxmaxf32，所以值域为2,2。故选A。

考点：二次函数的图象及性质。

二、填空题

13．【答案】①②④ 【

解

析

】

第 10 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

14．【答案】2e 【解析】 试题分析：

fxxex,f'xexxex，则f'12e，故答案为2e.

，b=

，b=，

； ．

．

考点：利用导数求曲线上某点切线斜率. 15．【答案】a= a﹣b=26， a+b=15， 解得，a=故答案为：

【解析】解：由5，10，17，a﹣b，37知， 由3，8，a+b，24，35知，

【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．

16．【答案】②③④

【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力． 由ab(1,4)得21，∴，①错误；

124a与b不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；

记aOA，由OMab得AMb，∴点M在过A点与b平行的直线上，③正确；

第 11 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

由aba2b得，(1)a(2)b0，∵a与b不共线，∴∴④正确；

1

，∴aba2b(1,5)，

2

21xy2xy0x33设M(x,y)，则有，∴，∴且x2y60，∴(,)表示的一

xy0y21x1y33条线段且线段的两个端点分别为(2,4)、(2,2)，其长度为25，∴⑤错误．

17．【答案】10

【解析】m的分解规律恰好为数列1，3，5，7，9，…中若干连续项之和，2为连续两项和，3为接下来三项和，故m的首个数为mm1.

∵m3(mN)的分解中最小的数为91，∴mm191，解得m10.

233

33218．【答案】 ①③④

【解析】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，

当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，

③设正三棱锥为P﹣ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角 ∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=∵侧棱长为2，∴

在直角△POC中，tan∠PCO=∴侧棱与底面所成角的正切值为

，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，

④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径， 即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|． ∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆， 故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确， 故答案为：①③④

第 12 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）因为点P，Q关于直线y=x﹣1对称，所以

解得．又n=em﹣1

，所以x=1﹣e（y+1）﹣1，即y=ln（x﹣1）．

（2）ω（s，t）=|s﹣ex﹣1

﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）﹣1|

=

，

令u（s）=．

则u（s），v（t）分别表示函数y=ex﹣1

，y=ln（t﹣1）图象上点到直线x﹣y﹣1=0的距离．由（1）知，umin（s）=vmin（t）． 而f′（x）=e

x﹣1

，令

f′（s）=1得s=1，所以umin（s）=

．

第 13 页，共 17 页

．

精选高中模拟试卷

故．

【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题，同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后再利用函数的思想求解．体现了解析几何与函数思想的结合．

20．【答案】

【解析】解：（I）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD． ABB1A1上的射影，

，

又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角． 设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=于是在Rt△BEM中，

即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为． （Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，

事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG， 因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形， 共面，所以BG⊂平面A1BE

因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．

【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力．

21．【答案】

第 14 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

【解析】解：（Ⅰ）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下： 非歌迷 歌迷 合计 男 女 30 45 15 10 45 55 25 100 合计 75 … 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得： K2=

=

≈3.030

因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…

（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}其中ai表示男性，i=1，2，3，bi表示女性，i=1，2． Ω由10个等可能的基本事件组成．…

用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2） }，事件A由7个基本事件组成． ∴P（A）=

…12

【点评】本题考查独立性检验的运用及频率分布直方图的性质，列举法计算事件发生的概率，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型．

22．【答案】

2222

【解析】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a3=9a2a6得a3=9a4，所以q=

．

由条件可知各项均为正数，故q=．

．

由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=故数列{an}的通项式为an=

（Ⅱ）bn=故则

=﹣+

+…+

+

．

+…+=﹣2（=﹣2=﹣

﹣， ．

=﹣（1+2+…+n）=﹣）

，

所以数列{}的前n项和为﹣

第 15 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．

23．【答案】

【解析】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC． 由∠BCD=90°，得CD⊥BC， 又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD， 所以BC⊥平面PCD．

因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则： 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等． 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍． 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F． 易知DF=

，故点A到平面PBC的距离等于

．

（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h． 因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°． 从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1． 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC． 又PD=DC=1，所以

由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积由VA﹣PBC=VP﹣ABC，

故点A到平面PBC的距离等于论证能力和运算能力．

24．【答案】

【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得

=1，∴b=4，…

．

，得．

． ，

．

【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理

第 16 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

由e==，得1﹣∴椭圆C的方程为

=+

，∴a=5，… =1．…

（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），… 设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

2

将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x﹣3x﹣8=0，…

由韦达定理得x1+x2=3，

y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣

=﹣

．…

由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣， ∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…

【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．

第 17 页，共 17 页