抽象函数的单调性

抽

前。

象函数的单调性

抽象函数的含义：没有解析式的函数，在考试中抽象函数始终作为一大难点出现在考生面

思路：添项法。

类型：一次函数型，幂函数型，指数函数型，对数函数型。

一类：一次函数型 函数满足：f(ab)f(a)f(b)k 或

f(ab)f(a)f(b)k 例1、 f(x)对任意x,yR都有：f(xy)f(x)f(y)，当x0时,f(x)0，判断f(x)在

R上的单调性。 例2、f(x)对任意实数x与y都有f(x)f(y)f(xy)2,当x>0时,f(x)>2 （1）求证:f(x)在R上是增函数； （2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3 【专练】：1、已知函数f(x)对任意x，yR有f(x)f(y)2f(xy)，当x0时，f(x)2，f(3)5， 求不等式f(a22a2)3的解集。 2、定义在R上的函数f(x)满足：对任意x，y∈R都有f(xy)f(x)f(y)，且当

x0时,f(x)0

(1)求证f(x)为奇函数； (2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

二类：对数函数型 函数满足：f(ab)f(a)f(b) 或 f()f(a)f(b) ab例1、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.

(1)求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x) + f(2-x)

< 2。

a例2、定义在(0,)上函数yf(x)对任意的正数a,b均有：f()f(a)f(b)，且当x1b时，f(x)0,（I）求f(1)的值;（II）判断f(x)的单调性, x【专练】：1、定义在(0,)上的函数f(x)对任意的正实数x,y有f()f(x)f(y)且当

y0x1时，f(x)0. 求:(1)f(1)的值. (2)若f(6)1,解不等式

1f(x3)f()2； x2、 函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有

f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时f(x)0,又f(2)1， （1）求证：f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,)上是增函数（3）解不等式f(2x21)2 3、设f(x)是定义在(0,)上的函数，对任意x,y(0,)，满足f(xy)f(x)f(y)且当x1时，

f(x)0。 xy（1）求证：f()f(x)f(y)； （2）若f(5)1，解不等式f(x1)f(2x)2.

三类：指数函数型 函数满足：f(ab)f(a)f(b) 或 f(ab)f(a) f(b)例1、定义在R上的函数f(x)，满足当x0时，f(x)1,且对任意x,yR,有

f(xy)f(x)f(y),

又知f(1)2. （1）求f(0)的值； （2）求证：对任意xR都有f(x)0；（3）解不等式f(3xx2)4；

【专练】：1、定义在R上的函数yf(x)对任意的m,n都有f(mn)f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)1，（I）证明：xR都有f(x)0；（II）求证：yf(x)在R上为减函数；（III）解不等式f(x)·f(2x-x)>1。 22、若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(ab)f(a)f(b)，且当x0时，f(x)1；

1时，解不等式16（1）求证：f(x)0 ；（2）求证：f(x)为减函数 （3）当f(4)f(x3)f(5x2)1； 4四类：幂函数型 函数满足：f(ab)f(a)f(b) 或 f()abf(a) f(b)例1、已知函数f(x)满足：①对任意x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)，②f(1)1,f(27)9,且当0x1时，f(x)0,1。（I）判断f(x)的奇偶性，（II）判断f(x)在0,上的单调性，并证明。（III）若a0，且f(a1)39，求a的取值范围。

五类：其他类数函数型 例1、定义在1,1上的奇函数yf(x)有f(1)1,且当m,n1,1时,总有:

f(m)f(n)0,(mn),

mn11),(III)若 （I）证明:f(x)在1,1上为增函数,(II)解不等式:f(x)f(2x1f(x)t22at1对所有x1,1,a1,1恒成立,求实数t的取值范围.

例2、定义在（）上的函数，且当

时，有

满足，对任意

， （1）试判断

都有的奇偶性；

（2）判断的单调性；

【专练】：1、已知定义在,1(1,)上的奇函数满足：①f(3)1；②对任意的x2，均有f(x)0；③对任意的x,yR，均有f(x1)f(y1)f(xy1)；

（1）试求f(2)的值；（2）求证：f(x)在(1,)上是单调递增；（3）已知对任意的(0,)，不等式f(cos2asin)3恒成立，求a的取值范围， 2、已知函数f（x）的定义域为{x| x ≠ kπ，k ∈ Z}，且对于定义域内的任何x、y，有

f (x)·f (y)＋1f（xy）= 成立，且f（a） = 1（a为正常数），当0 < x < 2a时，f（x） >

f (y)－f (x)0．（I）判断f（x）奇偶性；（II）证明f（x）为周期函数；（III）求f （x）在[2a，3a] 上的最小值和最大值． 3、已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f(1)1，若任意的a、b[1,1]，总有

(ab)(f(a)f(b))0． （1）判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：（3）若f(x)≤m22pm1对所有的x[1,1]恒成立，其中p[1,1]（pf(x1)f(12x)；

是常数），求实数m的取值范围．